Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
определяются как ядро оператора Эйлера-Лагранжа
С, = (dy'Sj + dij'bi + dc ~ + d с Cs
Л ш
\- - 6с? 6с' J
и имеют вид
(3.106а) (3.1066)
(3.1 Оби) (3.106г)
где использованы соотношения (3.104). Уравнения (3.106а) - это уравнения
Эйлера-Лагранжа для первоначального лагранжиана L полевой модели, тогда
как (З.Юбб)-(З.Юбг) представляют собой уравнения для поля Якоби
ёу - ёс' + с'е + г ёеу с точностью до членов степени > 2 по нечетным
параметрам е и ё.
SiCs = 6iC = 0,
6,C.s - 6, Су + id с d,.6iC
6
6^Cs = -где t>iC = 0,
6
6i?Cs = idc6{C = 0,
68
Глава 3. Суперсвязности
Фазовым пространством суперсимметричного расширения теории поля является
комплексифицированное простое градуированное многообразие (VII, Awn),
телом которого служит вертикальное касательное расслоение VII, а
характеристическим расслоением - векторное расслоение VVII -" VII. Оно
имеет локальный базис (с*, с', с*, с*), элементы которого с* и с*
преобразуются по тем же законам, что и координаты импульсов р* и pf.
Градуированные векторные поля и градуированные I-формы на VII вводятся
как сечения векторных расслоений С (^) VVm и С (8> Vyvn соответственно.
х х
Принимая во внимание закон координатных преобразований элементов с* и с*,
БРС-оператор uq (3.100) на VV расширяется до комплексного градуированного
векторного поля
uQ = d,. + iy1-- + *Р.А^1 (3-|0?)
на Vn. БРС-инвариантным расширением полисимплектической формы (3.94)
является ТХ-значная градуированная форма
Vis = [dpi Л dy' + dp* A dy + i(d с* A dc - dc1 A dc*)] Aw(r) d\,
где (с',-гсА) и (с',гсА) - сопряженные пары канонических переменных.
Пусть 7 - гамильтонова связность для исходной гамильтоновой формы Н
полевой модели на фазовом пространстве П. Ее двойное вертикальное
продолжение VV7 на VVn -" X (см. формулу (П. 61) во втором томе [12])
является линейным морфизмом над связностью V7 на Vn -> X и, таким
образом, определяет композиционную градуированную связность (3.34)
(VV7)tS- = V7 + dx* <
iJL.s д
9л9/чя-х + 9f"я .• +9ц1
д-сi ' ^'д-сх ' ¦ *"в(л_
на Vn -" X, компоненты которой g и g имеют вид
9\ = дг№хН, дхх, = -дАП, д\ = всв{Н, g*xi =-дЛН,
(% = с'д, + с*д'х, дс = с'д, + с* д\.
Эта композиционная градуированная связность удовлетворяет уравнению
(VV7)5Jn s = -dHs,
и поэтому может рассматриваться как гамильтонова градуированная связность
для гамильтоновой градуированной формы
Hs = [pidy' + Pidy + i(c*dc + dc'c*)]ux - W.s-w, (3.108)
Hs = (dv+idi8c)H, на Vn. Нетрудно убедиться, что эта градуированная форма
БРС-инвариантна, т.е.
Ей,, Я,s- = 0.
Таким образом, Hs (3.108) является искомым суперсимметричным расширением
гамильтоновой формы Н. Соответствующие уравнения Гамильтона для Hs имеют
вид
у\ = d\Hs = д\П, Рм = -diHs = -д{Н, (3.109а)
Й = = (dv + ide де)д\П, ри = -diHs = -(dv+ где дс)д{Н, (3.1096)
сд = г-г = -дсд\Н, сд,- = г-г- = -дсд(Н, (3.109в)
ОС* ос*
^ = "'TFT = ~дг Я*. = ~дс т. (3.109Г)
§ 6. Суперсимметричная теория поля
69
При этом уравнения (3.109а) - это уравнения Гамильтона для исходной
гамильтоновой формы Я, тогда как уравнения (3.1096)-(3.109г) описывают
поля Якоби
6у% - ёс* + с'е + i ёеу', 6рf = ecf + cfe + i eepf.
БРС-инвариантность построенной супсрсимметричной теории поля
автоматически расширяется до инвариантности относительно супергруппы Ли
ISp(2), если расслоение Y -> X имеет аффинные функции перехода (в
частности, является аффинным расслоением). Почти все известные полевые
модели относятся к этому типу. В этом случае вертикальное касательное
расслоение VY допускает вертикальное расщепление (см. (1.27) в первом
томе [11|) относительно голономных послойных координат у' на VY, функции
перехода которых не зависят от координат у'. Поэтому реперы {0,} и {$,}
имеют одни и те же функции перехода, и соответственно одни и тс же
функции перехода имеют дуальный к ним кореперы {с1} и {с1}. Тогда
градуированные векторные поля
uq = c'di - iy'-g;, ик' = ^?7, и к = с1-^, (3.110)
ис = ~
определены на теле VY. Легко проверить, что градуированные векторные поля
(3.100) и (3.110) образуют супералгебру Ли супергруппы Ли ISp(2):
|"(?, = [lIq, Uq] = [uq, Uq\ = [uk, Uq| = [uk, Uq] = 0,
\uK,Uq] = Uq, [uk,uq\ = Uq, {uk,uk] = uc, (3.111)
[uc,uK\ = 2uK, \uc,uk\ =-2uk.
Подобно (3.102), рассмотрим струйные продолжения градуированных векторных
полей (3.110) на VJ'Y. Используем компактное обозначение и = иада. Тогда
справедлива формула
j'u = и + d\ иад".
В результате получаем
J'uq = Uq + c\0? -iy[?r, j'uK = uK+c\?r, J'uk =uk+с\?г, (3.112)
тК. _ J =1 0
J uc - uc - Сщ - СХЩ-.
Нетрудно установить, что лагранжиан L§ (3.105) супсрсимметричной теории
поля инвариантен относительно преобразований с генераторами (3.112) и что
градуированные векторные поля (3.102) и (3.112) образуют супералгебру Ли
(3.111).
Аналогично градуированные векторные поля (3.110) могут быть подняты на
VTI по формуле
u = u-(-l)l''',|,w+|u'l4uVA'
ОРа
В результате получаем
й0 = дс-гу{?~(р^,
"* = +С|- йк = С'?; + С{Щ, (3.113)
