Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
(М, GM) х (J3r|5, дф) - (М, GM) (3.67)
§ 3. Суперрасслоения и суперсвязности
53
имеет структуру пучка свободных градуированных GAf-модулей ранга (г, s).
Обратно, если даны G-супермногообразие (M,GM) и пучок S свободных
градуированных Gat-модулей ранга (г, s) на М, существует прямое
произведение G-супермногообра-зий (3.66) такое, что S изоморфен пучку
сечений расслоения (3.67).
Перейдем теперь непосредственно к определению супервекторного расслоения
над G-супермногообразием. Подобно случаю гладких векторных расслоений
(см. Пример 1.3.4), можно потребовать, чтобы категория супервекторных
расслоений над G-супермногообразиями была эквивалентна категории локально
свободных градуированных пучков на G-супермногообразиях. Поэтому мы
ограничимся рассмотрением локально тривиальных G-суперрасслоений с
типичным слоем BT':S.
Определение 3.3.13. Супервекторным расслоением над G-супермногообразием
(M,Gm) с типичным слоем (Вг^, (7ф) называется пара ((К, Gy), ж),
состоящая из G-супермногообразия (Y, Gy) и эпиморфизма G-
супермногообразий
т: (Y,Gy)-+(M,Gm) (3.68)
таких, что М допускает открытое покрытие {?7^} вместе с множеством
локальных изоморфизмов G-супермногообразий
гр(: (*-'(??<), Gy|,-(?r<)) - (U(,Gu\u() х (Вф, Qr\.,) ¦
?
Ясно, что сечения супервекторного расслоения (3.68) порождают пучок
локально свободных градуированных Gm-модулей. Обратно, справедливо
следующее утверждение [30].
Предложение 3.3.14. Для любого пучка S локально свободных градуированных
GM-модулей ранга (г, s) на G-супермногообразии (М, Gm) существует
супервекторное расслоение над (М, Gm) такое, что S изоморфен пучку его
сечений. ?
Пучок S из Предложения 3.3.14 называется структурным пучком
супервекторного расслоения. Слоем Yq, q € М, этого супервекторного
расслоения является фактор
Sq/Mq " S%/(Mq • Sg,) ? Бг|я
стебля Sq по подмодулю Mq ростков s € Sq таких, что <5(/)(<?) = 0. Этот
слой представляет собой градуированный Л-модуль, изоморфный Br]>s. Он
наделен структурой стандартного супермногообразия.
Замечание 3.3.4. Доказательство Предложения 3.3.14 основывается на том
факте, что, если рц - функции перехода пучка S, их оценки
Я(( = НР") (3-69)
задают морфизмы П Щ -* GL(r\s\ Л) и образуют коцикл пучка С°°-морфизмов М
в градуированную общую линейную группу GL(r|s;A). Таким образом, мы
приходим к понятию G°° -супервекторного расслоения. Его определение
повторяет Определение 3.3.13, если заменить G-супермногообразия и их
морфизмы на G00-супермногообразия и их морфизмы. Более того, базовое G00-
супермногообразие супервекторного расслоения (см. Замечание 3.3.2)
является G00-супервекторным расслоением, функции перехода которого д^
связаны с функциями перехода супервекторного расслоения посредством
оценочных морфизмов (3.69) и представляют собой GL(r\s; Л)-значные
функции перехода. ?
Поскольку категория супервекторных расслоений над G-супермногообразием
(М, Gm) эквивалентна категории локально свободных пучков градуированных
Gm-модулей, можно ввести стандартные операции прямой суммы, тензорного
произведения и т.д. супервекторных расслоений.
54
Глава 3. Суперсвязности
Как и векторные расслоения, супервекторныс расслоения имеют глобальное
нулевое сечение. Всякое сечение супервекторного расслоения 7Г (3.68),
ограниченное на область тривиализании
(U, Gu\u) х (Вг|", Gr\s), (3.70)
имеет вил s - sa(q)ea, тле {е"} - базис Л-модуля Br^s, a sa(q) - G-
суперфункции на U. Если U' - другая область тривиализации этого
супервекторного расслоения, функции перехода
s'b(q)e'b = 8a(q)hha(q)eb, q 6 U П U', (3.71)
задаются (r-I s) х (г + s)-матрицами /г, компоненты которых hba(q)
являются (7-супер-функциями на U П U'. Эти матрицы можно интерпретировать
как сечения супервекторного расслоения над U П U' с типичным слоем -
градуированной обшей линейной группой GL(r\s\ Л).
Пример 3.3.5. Пусть дано G-супермногообразие (M,Gm)• Рассмотрим локально
свободный градуированный пучок DerGм градуированных дифференцирований его
структурного пучка GM. В соответствии с Предложением 3.3.14 существует
су-первекгорное расслоение Т(М, G м), называемое суперкасательным
расслоением, пучок сечений которого изоморфен пучку дифференцирований Der
Gy- Причем слой су-перкасателыюго расслоения T(M,Gm) в точке q € М
совпадает с введенным выше суперкасательным пространством Tq(M, Сщ). Если
(<7',..., qmA'") и (qn,..., q'm"1) - две координатные карты на базовом
пространстве М, матрица Якоби
г дЯН
hj = г, j = I,... , п + m,
(ем. выражения (3.59)) задает морфизмы перехода суперкасательного
расслоения T(M,GM).
Отметим, что базовое Gx-супервекгорное расслоение суперкасательного
расслоения Т(М, Gm) , называемое G^ -суперкасательным расслоением, имеет
функции перехода 6(h)), которые не могут быть представлены матрицами
Якобы, поскольку производные Сх-суперфункций по нечетным переменным плохо
определены и пучок DerGy не является локально свободным. ?
Суперсвязности
Если дано супервекгорное расслоение тг (3.68) со структурным пучком S его
