Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
югда как
•4/(r)ад) фо.
Например, если N - N' - тп - 1, таковым является элемент / <>о (у1 ...
у'").
Приведем основные классы суперфункпий, следуя терминологии из книги [30|.
• Если N1 = 0, пучок Sflr совпадаете пучком Нх так называемых Ях'-
суперфункций, введенных впервые М. Батчелором [33| и Б. Де Витгом |58].
Эти суиерфунк-
ции (3.51) имеют вид
N
г:
г- О
Л 1 .. ¦;>(*))
grii grir
;<=() t
s(x'') ... s(x'r)
y' ¦ (3.56)
Если N1 = N, мы имеем дело с Gx -суперфункциями, введенными А. Роджерс [
1341. В этом случае неравенство (3.54) справедливо только для т - 0.
Если условие (3.54) выполняется, суперфункции называются GHх -
суперфуакциями. Они включают в себя в качестве частного случая и
упомянутые ранее Нх -супер-функции.
Суперфункции всех приведенных выше типов называются гладкими суперфунк-
циями.
Обозначим QHn' пучок GHX -суперфункций на супервекторном пространстве
Вп'т и введем пучок градуированных Л-алгебр
Qn' = QU№ (r) Л, (3.57)
где алгебра Грассмана Л рассматривается как градуированная алгебра над
алгеброй Л'. Пучок C/дv (3.57) обладает следующими важными свойствами
(30).
• Существует оценочный морфизм
G.tjy -С,)... (3.58)
6'. F (r) а 1-^ Fa, F ? Q 5 в- ? А;
где Cg"," = (r) Л - пучок непрерывных Л-значных функций на В" ш. Этот
морфизм позволяет приписать значения из алгебры Грассмана Л росткам
сечений пучка Qn>. Его образ изоморфен пучку Qx Gx -суперфункций на
Вп',п.
• Для любых двух целых неотрицательных чисел N1 и N", удовлетворяющих
условию (3.54), существует канонический изоморфизм пучков градуированных
Л-алгебр Qn' и Qn". Поэтому можно определить канонический пучок Qnjn
градуированных Л-алгебр на супервекторном пространстве В",ш. Его сечения
представляются в виде тензорных произведений F (r)а Я*-суперфункций F
(3.56) и элементов алгебры Грассмана а <= Л. Они называются G-
суперфункциями, а - каноническим
пучком G -суперфункций.
• Пучок DerC7"m градуированных дифференцирований пучка Qn%m является
локально свободным пучком (/"1т-модулей ранга (п, т) на супервекторном
пространстве Впт. На всяком открытом подмножестве U С Вп'т этого
суперпространства Qn,m(U)-модуль Der(7"?m([7) градуированных
дифференцирований порождается операторами дифференцирования д/дх', д/ду1,
которые действуют на G-суперфункции из </",т(С7) по формулам
§ 3. Суперрасслоения и суперсвязности
47
Супермногообразия
Перейдем теперь к определению супермногообразия.
Определение 3.3.2. Паракомпактное топологическое пространство М
называется (и, то)-мерным гладким супермногообразием если оно допускает
атлас
такой, что функции перехода фt о </>"' - супергладкие морфизмы. ?
Ясно, что гладкое супермногообразие размерности (п,т) является также
гладким вещественным многообразием размерности 2Л"1 (7г + то).
Если суперфункции перехода являются Я01-, Gх - или СЯХ-суперфункциями,
говорят соответственно о Я1'*-, Сх - или СЯХ-супермногообразиях. Согласно
Предложению 1.3.2, распространенному на пространства градуированных
локальных колец, приведенное выше определение эквивалентно следующему.
Определение 3.3.3. Гладкое супермногообразие - это пространство локальных
колец (М, S), которое локально изоморфно 5), где S - один из пучков
гладких
суперфункций на Вп'ш упомянутого выше типа. Пучок S называется
структурным пучком супермногообразия, а гладкое многообразие М - базовым
пространством супермногообразия. ?
Под морфизмом гладких супермногообразий понимается их морфизм (<р, Ф) как
пространств градуированных лощильных колец, где Ф - четный градуированный
морфизм. В частности, всякий морфизм <р\ М -" М' базовых пространств
супермногообразий порождает морфизм гладких супермногообразий (ip, Ф =
ip*). Таким образом, выбор типа суперфункций на гладком супермногообразии
определяет класс морфизмов этого супермногообразия.
Следует, однако, подчеркнуть, что гладкие супермногообразия обладают
рядом серьезных недостатков.
Поскольку производные С°°-суперфункций относительно нечетных переменных
не определены, пучок дифференцирований пучка Сх-суперфункний не является
локально свободным и функции перехода Сх-касательного расслоения не
являются матрицами Якоби (см. ниже Пример 3.3.5). Тем не менее, любое G-
супермногообразие (см. ниже Определение 3.3.4) имеет базовое Gx -
супермногообразие (см. ниже Замечание 3.3.2).
В случае СЯХ-супермногообразий мы сталкиваемся с тем фактом, что
пространство значений СЯ^-функций может меняться от точки к точке,
поскольку алгебра Грассмана Л ранга N не является свободным модулем
относительно своей подалгебры Л' ранга N'. Это обстоятельство приводит к
трудностям с определением GHх-сунериекторных расслоений, если следовать
конструкции гладких векторных расслоений из Примера 1.3.4. Поэтому
супервекторные расслоения обычно рассматриваются в категории G-
супермногообразий.
Введя канонический пучок Qn,m градуированных Л-алгебр на супервекторном
пространстве Вп т, G-супермногообразие можно определить следующим
