Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть (Z, А) - градуированное многообразие. Пучок Der Л градуированных
дифференцирований структурного пучка А определяется как подпучок
эндоморфизмов пучка А таких, что всякое его сечение и на открытом
подмножестве U С Z является градуированным дифференцированием
градуированной алгебры A(U), т.е.
"(//') = "(/)/' + (-1)Н1Л/"(/') (3.16)
для произвольных однородных элементов и ? (Der A)(U) и /, /' ? A(U).
Лемма 3.2.6. [30]. Для любых открытых множеств U1 С U существует
сюръекция
Der(A(U))^Dcr(A(U')),
а
Это означает, что
(Der.4)(C0 = Der (A(U)),
т.е. канонический предпучок пучка градуированных дифференцирований Der.4
изоморфен предпучку дифференцирований градуированных модулей A(U).
Сечения пучка градуированных дифференцирований Der Л называются
градуированными векторными палями на градуированном многообразии (Z, А)
(или просто на Z, если структурный пучок фиксирован). Пусть U - область
тривиализации градуированного многообразия и Ец = U xV - соответствующее
тривиальное векторное расслоение. Можно показать, что градуированные
векторные поля и на U представляют собой сечения векторного расслоения
[30, 100]
38
Глава 3. Суперсвязности
Они имеют "ид
и = иАдА+ииди, (3.17)
где иА, иа - локальные градуированные функции, {<9"} - базис, дуальный
базису {с"}, и (zA) - координаты на подмножестве U С Z. Дифференцирования
(3.17) действуют на градуированные функции / € Ae{U) (3.13) по формуле
*(/"..."с" ...с") = uA0A(f,,..b)ca ...с1'+ ukfa...hOk j (с"... с4).
(3.18)
Замечание 3.2.1. С помощью дифференцирований (3.18) кольцо A(U) можно
наделить топологией Фрешетак, что изоморфизм (3.9) становится
метрическим. ?
Пусть U1 - другая область тривиализации градуированного многообразия,
помимо U, с функциями перехода (3.14). Тогда формула дифференцирования
(3.18) предполагает следующий закон координатных преобразований
градуированных векторных полей:
иА -• uA, un = u:> djp" 4- uAt)Apa,
где ради простоты координаты zA = z'A остаются непрсобразуюшимися. Рели U
и U' - области тривиализации одного и того же векторного расслоения Е из
Теоремы 3.2.2 с функциями перехода (3.15), закон координатных
преобразований градуированных векторных полей становится аффинным
и,А = иА,
и"' = и1 р] 4- UAQA (р))с' .
Отсюда следует, что, если дан изоморфизм Батчелора из Теоремы 3.2.2 и Е -
> Z - соответствующее векторное расслоение, градуированные векторные поля
на Z могут быть представлены как сечения векторного расслоения V*- -+ Z,
которое локально изоморфно векторному расслоению
М,*лЯ*(r)(рг2УД0Гд)|у (3.19)
с функциями перехода
ja . o~'atzA
*I.. ,*t Р i, • • ¦ И ц в|.. .яд.I
vf ¦ =0-'b' 0~'bl
V3\..)i-P ir- P n
Pi vhi ...bt (Jfc -' J) | **' " 1 (r)A ^
(3.20)
для послойных координат (zA^,4, ...6,), к = 0,...,ra, записанных
относитель-
но базисов {с") слоев расслоения Е* -+ Z и дуальных голономных базисов {}
вертикального касательного расслоения VE -> Е (напомним каноническое
разложение VE = Е х Е) [79, 1131. Легко проверить, что, как и должно
быть, эти функции перехода образуют коцикл. Имеет место точная
последовательность над Z векторных расслоений
0 -+ АЕ* <g) рг2УЯ - -> АЕ* (r)TZ-*0. (3.21)
Замечание 3.2.2. Благодаря локальному изоморфизму (3.19) можно локально
представить расслоение Уд как суперрасслоение Неемана-Куиллена (см.
§3.7). ?
Согласно Предложению 1.3.1 и Лемме 3.2.6 пучок сечений векторного
расслоения VE -" Z изоморфен структурному пучку Der Л градуированного
многообразия. Глобальные сечения расслоения Vg -" Z образуют
градуированный Л(^)-модуль градуированных векторных полей на Z, который
является также супералгеброй Ми относительно скобок
[и, и'] = ии' + (- О^М+Уи. (3.22)
§ 2. Связности на градуированных многообразиях
39
В частности,
\дА,дв\ = \дА,Оа\ = 10а,вь\=0.
(3.23)
Замечание 3.2.3. Как было отмечено нышс, дифференцирования пучка С*
гладких функций на многообразии X являются сечениями касательного
расслоения ГX -* X. Г1о аналогии можно было бы предположить, что
градуированные дифференцирования пучка А градуированных функций на
многообразии Z также могут быть представлены сечениями некоторого
градуированного касательного расслоения |47|
Однако закон координатных преобразований (3.20) свидетельствует, что
проекция
не определена глобально, т.е. V/.; не является внешним расслоением. Это
означает, что пучок дифференцирований Der .4 не может быть структурным
пучком какого-либо градуированного многообразия (см. ниже Пример 3.3.5).
?
Хотя изоморфизм Батчелора не является каноническим, существует много
физических моделей, где векторное расслоение Е изначально фиксировано
(см. §§3.6, 4.3). В этом случае достаточно рассмотреть пучок Ац (3.10)
сечений внешнего расслоения (3.11) 177], ограничив его автоморфизмы теми,
которые индуцированы изоморфизмами векторного расслоения Е -* Z. Будем
называть пару (Z,Ak) простым градуированным многообразием, а Е - его
характеристическим расслоением. Отметим, однако, что в [471 первый термин
