Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 21

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 75 >> Следующая

применяется ко всем градуированным многообразиям конечного ранга в свете
теоремы Батчелора. Простое градуированное многообразие (Z,Ak) полностью
характеризуется структурным модулем (алгеброй) Ar(Z) = AE'(Z) внешнего
расслоения АЕ*. Поэтому Ak(Z) также называется структурной алгеброй
простого градуированного многообразия.
Скажем несколько слов о морфизмах простых градуированных многообразий.
Они индуцируются морфизмами соответствующих векторных расслоений. Пусть
(Z,Ak) и (Z',Ak') - простые градуированные многообразия и (: Е -* Е' -
линейный послойный морфизм над морфизмом многообразий <р: Z -* Z'. Тогда
всякое сечение 5* дуального к Е расслоения Е'* -* Z' определяет
индуцированное сечение ('s' дуального расслоения Е* -* Z по формуле
В результате мы получаем индуцированный пучок С А к на Z, который
представляет собой подпучок пучка Ак (отметим, что пара (Z, С*.4*-) в
обшем случае не является градуированным многообразием). Тогда морфизм
простых градуированных многообразий, порождаемый морфизмом расслоений <р,
может быть определен в виде
(STZ, STA) -*(Z, А).
V/.;|{/ -^pr2VE&TZ
vz = C(vz) j s*(tp(z)), V 6 Ег.
SC = (?>, ?>.<): (Z,Ah)^(Z',Av)
(3.24)
r zAdA^zA(dA+TAda)
(3.25)
дается сечением
Т = ЛхА(r)(вА+ГАда)
(3.26)
40
Г лава 3. Суперсвязности
векторного расслоения
T'Z <g)VE^Z
z
таким, что композиция
Z T*Z (g) Vjs -> T'Z (&(лЕ* (3) Tz) ~^T*Z<Z)TZ г г ' z '
z
является канонической тангенциально-значной формой dzA (r) дА на Z.
Заметим, что форма 7 (3.26) имеет нечетные коэффициенты. Расщепление
(3.25) преобразует всякое векторное поле т на многообразии Z в
градуированное векторное поле
T = TAdA~Vr=TA{dA+ УАда), (3.27)
представляющее собой градуированное дифференцирование пучка А" такое, что
VT(3f) = (Tjds)f+3Vr(f), / 6 AE(U), s?C*(U), VU С Z.
Тогда в соответствии с Определением 1.3.9, обобщенным на градуированные
кольца, градуированное дифференцирование VT (3.27) и расщепление (3.25)
можно рассматривать как градуированную связность на простом
градуированном многообразии (Z,AE) 1113). В частности, эта градуированная
связность задает соответствующее горизонтальное разложение
и = иАдА + иада = чл(дА +ГАда) + ("" - "*75)0.
всякого градуированного векторного поля и на Z.
Замечание 3.2.4. В силу изоморфизма (3.9) любая градуированная связность
7 на градуированном многообразии (необязательно простом) (Z, А), будучи
ограниченной на область тривиализации U, имеет вид (3.25). Если U и U1 -
две области тривиализации (Z, А) с функциями перехода (3.14), компоненты
градуированной связности 7д подчиняются закону преобразований
7а = 7лдьр* + дАра. (3.28)
Если U и U1 - области тривиализации одного и того же
векторного расслоения Е
из Теоремы 3.2.2 с функциями перехода (3.15), закон преобразований (3.28)
принимает аффинную форму
1а = Pb(z)lb + dApab(z)cb. (3.29)
Поэтому, переходя от аффинного (3.29) к общему закону
преобразований (3.28),
градуированную связность (3.26) на простом градуированном многообразии
(Z,AE) можно рассматривать и как градуированную связность на
градуированном многообразии (Z, А) " (Z, Ае). ?
Согласно Теореме 1.2.4 градуированная связность (3.25) всегда существует.
Например, любая линейная связность
7 = dzA 0 (дА + ¦yAaivbda)
на характеристическом векторном расслоении Е -> Z порождает
градуированную связность .
7s = dz (r) (дА + 7Аьсьда) (3.30)
на градуированном многообразии (Z, АЕ) такую, что для всякого векторного
поля т на Z и любой градуированной функции / градуированное
дифференцирование VT(/) относительно градуированной связности (3.30)
совпадает с ковариантной производной / относительно линейной связности 7.
Это неудивительно, поскольку градуированная связность (3.26) на самом
деле представляет собой частный случай связности
§ 2. Связности на градуированных многообразиях
41
на внешнем расслоении ЛЬ* (3.11), которая задает дифференцирование
структурного модуля AE*(Z) этого расслоения. Согласно Замечанию 3.2.4,
является также градуированной связностью на градуированном многообразии
(Z, Л) = (Z, Ар;), но ее форма (3.30) не сохраняется при общих функциях
перехода (3.28).
Градуированные связности 7 (3.26) на простом градуированном многообразии
(Z,An) образуют аффинное пространство над линейным пространством сечений
<р = <paAdzA (r) да (3.31)
векторного расслоения
Т*2 0лЬ* 0Ь -> Z.
Z Z
В частности, всякая градуированная связность может быть представлена как
сумма градуированной связности, сохраняющей Z-градуировку, например,
линейной связности (3.30) и какого-либо сечения <р (3.31).
Кривизна градуированной связности VT (3.27) дается выражением (1.84):
R(t, т ) = [VT, VT"| - V[t,t'|i R(T,T')=TAT,DRaABda: Ае^Ле,
Rad = длГв ~ двГл + 7кАдк(Тв) ~ 7лб* (Та)- (3-32)
Она также может быть записана в виде (1.77):
R: Ае (r) Ае,
R= \RaABdzA/\dzD (r)да. (3.33)
Замечание 3.2.5. Предположим, что тело простого градуированного
многообразия представляет собой расслоение Z -* X, наделенное послойными
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed