Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
tf*(Z) = tf*(Z; R) = H4GR(Z) (3.47)
групп когомологий Де Рама H*(Z) гладких внешних форм на многообразии Z и
групп когомологий HgR(Z) комплекса (3.46), называемых градуированными
группами когомологий Де Рама [100]. ?
44
Глава 3. Суперсвязности
§ 3. Суперрасслоения и суперсвязности
Суперсвязности вводятся на супервекторных расслоениях над так называемыми
G-супермногообразиями (см. ниже Определение 3.3.4). Существуют две
главные причины, почему именно G-супермногообразия выбираются в качестве
базы супервекторных расслоений. Во-первых, в этом случае категория
супервекторных расслоений эквивалентна категории локально свободных
пучков конечного ранга, подобно тому как это имеет место для гладких
векторных расслоений (и в отличие, например, от случая СЯ^-
супермногообразий). Поэтому основные понятия дифференциальной геометрии
можно распространить и на супервекторные расслоения. Во-вторых,
дифференцирования структурного пучка G-супермногообразия образуют
локально свободный пучок (в отличие опять же от С^-супермногообразий).
Это тоже важно с дифференциально-геометрической точки зрения. Более того,
этот пучок сам является структурным пучком некоторого G-
супермногообразия, в отличие, например, от уже упоминавшегося случая
градуированных многообразий (см. Замечание 3.2.3).
Начнем с изложения понятий суперфункции, супермногообразия и супервектор-
ного расслоения (см. их детальное описание в [30]).
Суперфункции
Подобно многообразиям, супермногообразия получаются склеиванием открытых
подмножеств супервекторных пространств Вп'т посредством суперфункций
перехода. Хотя рассматриваются различные классы суперфункций, все они
могут быть введены единым образом.
Пусть
Вп т = Л? (r) К
- супервекторное пространство, где Л - TV-мерная алгебра Грассмана и TV ^
т. В соответствии с разложением (3.3) любой элемент этого супервекторного
пространства q 6 Вп т может быть однозначно представлен в
виде
q = х + у = (<г(х%) + s(x'))e" + yje), (3.48)
где {е",е]} - базис Вп,т и <г[х') 6 К, s(x') € TIq, j/; 6 Т1\.
Обозначим
ап,т. вп,т __ Rn( 8п,т. дП.ш %n.m
- соответствующие body- и soul-морфизмы.
Пусть А! - еще одна алгебра Грассмана ранга TV' (0 < TV' < TV),
рассматриваемая как подалгебра алгебры Грассмана Л, т.е. базис {с0}
алгебры Л' представляет собой часть базиса {с",с6} алгебры Л. На открытом
подмножестве U С К" зададим Л'-значную градуированную функцию
/(*) = И i /". (*)**¦••-с* (3.49)
а=о -
с гладкими коэффициентами fai,..at(z)< z € К". Ей сопоставляется
градуированная функция }{х), х € (<т"'°) (U) С Вп,°, определяемая как
формальный ряд Тейлора
/м")+.<."=/И""+Е ^ [Е ¦ • ¦ *(*¦')]="'
А=0 р- I *
(3.50)
§ 3. Суперрасслоения и суперсвязности
45
После этого вводится градуированная функция F(q), q G (<r'i,m) \U) С
Bn,m, представляемая суммой
+ У) = ^2 - ¦ ¦ ¦ У*'' (3-51)
г= 0 '
где (х) - градуированные функции (3.50). Градуированные функции (3.51)
называются суперфункциями на супервекторном пространстве Вп,т. Они задают
пучок .SV градуированных алгебр ранга N1 на Вп'т. Пусть S^, - подпучок
этого пучка, сечениями которого являются суперфункции f(x + y) = f(x)
(3.50), независимые от нечетных переменных у3. Выражение (3.51)
предполагает, что для любого открытого подмножества U супервекторного
пространства Вп'т существует эпиморфизм
Л: S^(?/)(r)'Mff1 -> SN'(U), (3.52)
Л: j" (r) (у31 ¦ ¦ ¦ У1') -
r=0 ¦ r=0 ¦
отождествляющий AlRm с внешней атгеброй, порождаемой элементами (у1,...,
ут). Тогда имеет место эпиморфизм пучков
Л: S% (r) ЛК'" -> SN>, (3.53)
где лМт - постоянный пучок на Вп т.
Предложение 3.3.1. Эпиморфизм пучков (3.53) является изоморфизмом тогда и
только тогда, когда
N-N'^m. (3.54)
?
В этом случае представление суперфункции F(x + у) в виде суммы (3.51)
оказывается однозначным.
Используя представление (3.51), можно определить дифференцирование
суперфункций. Пусть f(x) ? Sx'(U) - градуированная функция
на U С Вп,{). Так как /
по определению является рядом Тейлора (3.50), ее частные производные
по четным
координатам хг задаются естественным образом в виде
dif(x) = (dif)(<r(x) + s( х)) =
1 f_ " (п(хЛ\
...с"*. (3.55)
Of I / \\ , ^ * дР+'/а1...аЛ°(х)) I ц \ I г"\
= г(сг(х)) + У - У :---------------------:--------:---S ( X )
. . . S[X )
дгИ ' >> ^ fe! Z^ р! 0г!0г>1 ... drh у ' v '
*=0 Lp=1 r
Это выражение для четных частных производных распространяется и на
суперфункции F на Вп,т, даже когда их представление в виде суммы (3.51)
не является однозначным.
Трудность возникает с определением нечетных частных производных
суперфункций. Нечетная производная вводится как образ Z-градуированного
дифференцирования порядка -1 внешней алгебры AR(tm) относительно морфизма
(3.52), т. е.
fy!(x(f(r)у)) =x(f(r)dj(y))> з/елк"1.
Это определение имеет смысл только если А - изоморфизм, т. е. когда
выполняется неравенство (3.54). В противном случае существует ненулевой
элемент /(r)у такой, что
А(/ (r) У) = 0,
46
Глава 3. Суперсвязности
