Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
фактах.
• Структурный пучок А градуированного многообразия (Z, А) по определению
локально изоморфен пучку CjJ (r) лКт на областях тривиализации U С Z
градуированного многообразия.
• Пусть (М,Нм) - это Ях-супермпогообразие Де Витта и а - body-морфизм
(3.63). Из Предложения 3.3.1 следует, что образ at (Н'м) на Zm
структурного пучка Ядх многообразия Де Витта локально изоморфен пучку CfM
(r) ЛЕШ. Выражение (3.56) описывает этот изоморфизм в явном виде.
• Более того, пространства (М, Нм) и (Zu, п(Яд))) задают один и тот же
элемент в множестве когомологий Я1 (ZM; Aut (дКт)^).
Тем самым мы приходим к следующей Теореме (30, 33].
Теорема 3.3.8. Если (М, Я,х ) - это Я^-супермногообразие Де Витта, тогда
пара (Дм, <т*(Я^)) является градуированным многообразием. Обратно, для
любого градуированного многообразия (Z, А) существует Я^-
супермногообразие Де Витта, тело которого совпадает с многообразием Z. а
body-морфизм а, (Н^) его структурного пучка изоморфен структурному пучку
А этого градуированного многообразия. ?
Следствие 3.3.9. В силу Теоремы Батчелора 3.2.2 и Теоремы 3.3.8
существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфных
Я"*'-супермногообразий Де Витта нечетного ранга т с телом Z и классами
эквивалентности тп-мерных векторных расслоений над Z. ?
Этот результат распространяется также на GHGx - и G-супермногообразия Де
Витта.
Остановимся еще коротко на G-супермногообразиях Де Витта.
Предложение 3.3.10. [30, 46]. Структурный пучок G-супермногообразия Де
Витта (M,GM) является ацикличным, и то же самое можно сказать о локально
свободных пучках GM-модулей. ?
Предложение 3.3.11. [132]. Группы когомологий Яд(М) комплекса Де Рама
внешних суперформ на G-супермногообразии Де Витта (M,Gm) изоморфны
группам когомологий Де Рама (3.61) Л-значных внешних форм на его теле Zm,
т. е.
Я;(М) = Я*(?м)(r)Л. (3.64)
?
Эти результаты основываются на том факте, что структурный пучок Gm G-
супермногообразия на его базовом пространстве М, наделенном топологией Де
Витта, является тонким, хотя и необязательно ацикличным, поскольку
топология Де Витта не паракомпактна. Тем не менее, можно показать, что
его образ <t,(Gm) на теле ZM является тонким и ацикличным. Тогда
Предложения 1.3.7 и 3.3.5 ведут к Предложению 3.3.10. В частности, пучки
внешних суперформ на G-супермногообразии Де Витта
52
Глава 3. Суперсвязности
ацикличны. Они образуют резольвенту постоянного пучка Л на М, и мы
получаем изоморфизмы групп когомологий
Н*А(М) = Я*(М; Л) = Н*(М) (r) Л.
Поскольку типичный слой расслоения М -> Zm является стягиваемым, тогда
Н*(М) = H*(ZM), что и приводит к изоморфизмам (3.64).
Супервекторные расслоения
Как уже отмечалось, мы будем рассматривать супервекторные расслоения в
категории G-супермногообразий [30].
Начнем с определения прямого произведения двух G-супермногообразий. Пусть
(Я"'"', Qn,m) и (Br,s, St,s) - два стандартных супермногообразия из
Примера 3.3.4. Для любых двух открытых подмножеств U С Вп т и V С Brs
рассмотрим предпучок
их v^gn<m(u)(r)gr,,(v), (3.65)
где §> - топологическое тензорное произведение модулей (см. Замечание
1.1.8). Используя изоморфизм (3.60), легко установить, что структурный
пучок Gn+r,m+s стандартного супермногообразия вп+г,т+а изоморфен пучку,
порождаемому предпучком (3.65). Эта конструкция следующим образом
обобщается на произвольное G-супермногообразие.
Предложение 3.3.12. Пусть (M,GM) и (M',Gм>) - два G-супермногообразия
размерностей (п, т) и (г, s) соответственно. Их прямое произведение (М,
Gm) х (М1, Gm') определяется как пространство локальных градуированных
колец (М х М\ Gm <8>Gm') > где Gm <8> Gm1 - пучок, порождаемый предпучком
U х U' -> GM(U) §> GM'(U'),
с. S-л /ТТ\ ?. Г' !гт'\ /',ос ?>, /^°° _ ' •
0. Ьм(и ) <Х> СгМ'уи ) C<t(U) (r) *-JtT(U') - (-'<rM(U)*<ru(U')i
Это прямое произведение является G-супермногообразием размерности (n + r,
m + s). О
Более того, заданы эпиморфизмы
ргj: (М, Gm) х (М1, Gm1) ~1• (М, GM),
рг2: (М, GM) х (М\ Gm>) -" (М\ GM')-
Соответственно, сечение, например, расслоения рг, на открытом
подмножестве U С М определяется как морфизм G-супермногообразий
sv: (U,Gm\u) ~1• (М, Gm) х (М1, GM')
такой, что рг, о su - это тождественное преобразование G-
супермногообразия (U,Gm\u)- Сечения s/j для всех открытых подмножеств U С
М базового пространства G-супермногообразия М порождают пучок на М,
который необходимо наделить соответствующей градуированной Gm-структурой.
В этой связи напомним, что в случае гладкого векторного расслоения над
многообразием X пучок его сечений является пучком С^-модулей (см. Пример
1.3.4).
Для этой цели рассмотрим прямое произведение
(М, GM) х (Br^a, Qr\,), (3.66)
где Br|s - градуированная оболочка (3.4). Поскольку Л0-модули Вг^ и
Br+5,r+s изоморфны, суперпространство Вг*' имеет естественную структуру
(r + s, r + s)-мерного G-супермногообразия. Так как Вг^ - свободный
градуированный Л-модуль ранга (г, а), пучок STm сечений расслоения
