Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Р и Р1 - два G-супермногообразия, на которые действует G-
супергруппа. Ли Л. Морфизм G-супермногообразий ip: Р -" Р' называется Я-
инварнантным, если
ip о р = р' о х Id): Р х Я -> Р'.
Определение 3.4.2. Фактором действия G-супергруппы Ли на G-
супермпогообра-зие Р называется пара (M,iг), состоящая из G-
супермногообразия М и морфизма G-супермногообразий ж : Р -> М таких, что:
(i) имеет место равенство
ж о р - ж о (Гг,: Р х Я -> М; (3.79)
(ii) для всякого морфизма G-супермногообразий <р: Р -> М' такого, что
ipop = <рорг|, существует единственный морфизм G-супермногообразий д: М -
> М' такой, что <р = дож.
?
Совсем необязательно, чтобы фактор (М,ж) существовал. Если он все-таки
существует, имеется мономорфизм его структурнуго пучка Gм в образ ж,СР.
Поскольку G-супергруппа Ли Я действует на G-супермногообразие М
тривиальным образом, образ упомянутого выше мономорфизма является
подпучком жtGP, инвариантным относительно действия Я. Более того,
существует изоморфизм
GM * (ж,СР)" (3.80)
между Gm и подпучком Я-инвариантных сечений пучка GP. Этот подпучок
порождается локальными сечениями пучка Gp на ж~\и), U С М, которые
являются Я-инвариантными как морфизмы G-супермногообразий U -> Л, где
предполагается тривиальное действие Я на Л.
Обозначим морфизм в равенстве (3.79) как i?. Легко убедиться, что
инвариантные сечения пучка GР{ж~] (U)) являются в точности элементами,
которые имеют один и тот же образ относительно морфизмов
Г'- Ср{ж- \и)) - (H(r)GP)(0-'(U)), рГ;: СР(ж-\и)) - (H(r)GP)(d~'(U)).
Тогда изоморфизм (3.80) приводит к точной последовательности пучков
градуированных Л-модулей на базовом пространстве М:
0 >GU -гг,GP (3.81)
Определение 3.4.3. Главным суперрасслоением со структурной G-супергруппой
Ли Я называется локально тривиальный фактор ж: Р -> М, т. е. базовое
пространство М G-супермногообразия М допускает открытое покрытие {U^}
вместе с Я-инвариантными изоморфизмами
P\0i -+и(хЙ,
60
Глава 3. Сулерсвязности
где Я действует на
UcxH -+и( (3.82)
правыми умножениями. ?
Замечание 3.4.5. В действительности нам необходимо только условие (i) в
Определении 3.4.2 действия G-супергруппы Ли Я на G-супермногообразии Р и
условие локальной тривиальности фактора Р. ?
Эквивалентно главное суперрасслоение можно рассматривать как склеенное из
тривиальных главных суперрасслоений (3.82) посредством Я-инвариантных
функций перехода
фа: U<( х Н -> U<( х Я, Ua = U( П Щ,
которые образуют коцикл.
Как и в случае гладких главных расслоений, на главном суперрасслоении
вводятся супервекторные поля следующих двух типов.
Определение 3.4.4. Супервекторное поле и на главном суперрасслоении ж: Р
-* М называется инвариантным, если
р* о и = (и (r) Id) о и: Gp -> р, (Gp (r) Я).
?
Каждому открытому подмножеству V С М можно сопоставить градуированный
Gm(V)-модуль всех Я-инвариантных супервекторных полей на 7r_l(V), задавая
таким образом пучок DerИ(ir,Gp) градуированных Gj^-модулей на базовом
пространстве М.
Определение 3.4.5. Фундаментальное супервекторное поле v, отвечающее
элементу v € h супералгебры Ли h, определяется условием
v - (Id (r)w) о р*: Gp -> Gp §> е*(Л) = Gp.
?
Фундаментальные супервекторные поля порождают пучок VGp градуированных
Gp-модулей вертикальных супервекторных полей на главном суперрасслоении
Р, т.е. иол-* - 0. Более того, существует изоморфизм пучков
градуированных Gp-модулей
Gp (r) h Э F (r) v Fv Е VGp,
аналогичный изоморфизму (3.78).
Рассмотрим пучок
(ir.VGpf = ж,(VGp) П Der "(тг.Ср)
на базовом пространстве М, сечениями которого являются вертикальные Я-
инвари-антные супервекторные поля.
Предложение 3.4.6. [30]. Существует точная последовательность пучков
градуированных Gjw -модулей
0 -> (ж,VGpf -" Der "(tt.Gp) - Der Gu - 0. (3.83)
?
Точная последовательность (3.83) аналогична точной последовательности
(1.85) в первом томе [11| и соответствующей точной последовательности
С00-модулей
О -"(VGP)X - (TGP)x Der С? ^ О,
§ 5. Главные градуированные расслоения
61
которые имеют место в случае главных гладких расслоений. Поэтому мы
приходим к следующему определению суперсвязности на главном
суперрасслоении.
Определение 3.4.7. Суперсвязностью на главном суперрасслоении п: Р -" М
называется расщепление
V: Der Gm -> DerH0rtGP) (3.84)
точной последовательности (3.83). ?
В отличие от связностей на гладких главных расслоениях, суперсвязности на
главных суперрасслоениях не всегда существуют.
Суперсвязность на главном суперрасслоении Р может быть описана в терминах
h-значной 1-суперформы
uj'. Der Gр -> Gр 0 h - VGp
на Р, называемой суперформой связности. В самом деле, всякое расщепление
V (3.84) определяет морфизм градуированных Gp-модулей
5r*(DerGi/) -" ?*(DerH(7r"Gp)) = DerGp, который расщепляет точную
последовательность
О -> VGp -> DerGp -> тг (DerG^) -> 0.
Поэтому существует точная последовательность
0 -> ?*(DerGM)VGP -* Der GP VGP -* 0.
Заметим, что по аналогии с ассоциированными гладкими расслоениями
