Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
(Z, А). ?
Таким образом, мы приходим к следующему варианту известной теоремы о
факторе градуированного многообразия [18, 143].
Тюрьма 3.5.2. Правое действие (<р, Ф) градуированной группы Ли (G, Q) на
градуированное многообразие (Z, А) является регулярным тогда и только
тогда, когда фактор (Z/G,A/Q) представляет собой градуированное
многообразие, т.е. существует эпиморфизм градуированных многообразий
(Z,A) -* (Z/G,A/G), согласующийся с проекцией Z -* Z/G. ?
Ввиду этой теоремы главное градуированное расслоение (Р, А) может быть
определено как локально тривиальная субмерсия
(Р, А) - (P/G,A/g)
относительно правого регулярного свободного действия градуированной
группы Ли {G,Q) на градуированное многообразие (Р, А). Эквивалентным
образом можно сказать, что главное градуированное расслоение - это
градуированное многообразие (Р,А), наделенное свободным правым действием
градуированной группы Ли (G, G) таким, что фактор (P/G,A/Q) - это
градуированное многообразие и сюръекция (Р, А) ->
(P/G, А/G) является субмерсией. При этом ясно, что Р -> P/G - это обычное
главное расслоение со структурной группой Ли G.
Градуированная связность на главном градуированном (G, *7)-расслоен и и
(Р, А) -> (Х,В) вводится аналогично суперсвязности на главном G-
суперрасслоении. Она определяется как (G, (/[-инвариантное расщепление
пучка Der Л и представима g-значной градуированной формой связности на
(Р, А) [ 143|.
Замечание 3.5.2. Более обшим является подход, когда градуированная
связность на градуированном расслоении (Z,A) -* (X, В) определяется как
сечение Г градуированного расслоения струй j\Z/X) -> (Z,A) сечений этого
градуированного расслоения (Z, А) -* (Х,В) [ 181, которое также является
градуированным многообразием j 136]. В случае главного градуированного
(G, С/)-расслоения такое сечение Г предполагается эквивариантным
относительно действия градуированной группы Ли (G, G) (сравните с
Определением 1.7.5 в первом томе [И]). ?
64
Глава 3. Суперсвязности
§ 6. Суперсимметричная теория поля
Математический формализм, изложенный в предыдущих параграфах, дает
возможность строить суперсимметричные полевые модели. В этом параграфе мы
покажем, что любая теория поля на расслоений Y -> X может быть
стандартным образом расширена до суперсиммстричной теории поля, которая в
случае аффинного расслоения Y ->• X инвариантна относительно супергруппы
Ли ISp(2) [79, 113, 138|. В сравнении с су-персимметричной теорией поля в
[44, 51], это расширение формулируется в терминах простых градуированных
многообразий и является непосредственным обобщением БРС-механики в
работах [81, 82, 83, 112].
Предварительным шагом для построения суперсимметричной теории поля
является так называемое вертикальное расширение лагранжева и гамильтонова
формализмов на расслоении Y ->• X ]78, 113] (см. подробное изложение
лагранжева и гамильтонова формализмов теории поля на расслоениях в первом
томе 111], а также в [78, 113, 137]). Это расширение состоит в переходе
от теории поля на расслоении Y X с послойными координатами (жА, у*)
ктеории поля на вертикальном касательном расслоении VY -> X с послойными
координатами (хх,у',у').
Начнем с вертикального расширения лагранжева формализма. Мы следуем
обозначениям в первом томе [11]. Конфигурационным пространством теории
поля на расслоении VY -> X является многообразие струй J[VY. Благодаря
каноническому изоморфизму JlVY = VJlY оно наделено послойными
координатами
(хХ,у',У\,У,У\)-
Отсюда следует, что лагранжев формализм на конфигурационном пространстве
JlVY может быть построен как вертикальное расширение лагранжева
формализма на многообразии струй JlY путем перехода к вертикальным
касательным морфизмам.
Пусть
L = Сш: J1 У -> Д Т*X (3.88)
- исходный лагранжиан полевой модели на конфигурационном пространстве
J'Y. Его продолжение на вертикальное конфигурационное пространство JlVY
определяется как вертикальный касательный морфизм
Lv = рг2 о VL: VJ'Y -> Д Т*Х, (3.89)
Су = дуС = (y'di + y\di)C, к морфизму L (3.88). Соответствующие уравнения
Эйлера-Лагранжа имеют вид
hiCv = 6{С = 0, (3.90а)
6iCv = dybiC = 0, (3.906)
ду = уд, + у\д- + у)1Хд?Х.
Уравнения (3.90а) - это в точности уравнения Эйлера-Лагранжа для
исходного лагранжиана L.
Замечание 3.6.1. Чтобы прояснить физический смысл уравнений (3.906),
предположим, что Y -¦ X - векторное расслоение. Пусть
s - решение уравнений
Эйлера-Лагранжа (3.90а) и 6s - его поле Якоби, т.е. s +
ebs, е 6 Ж, - тоже решение
уравнений Эйлера- Лагранжа (3.90а) с точностью до членов степени >
1 по малому
параметру е. Легко убедиться, что поле Якоби удовлетворяет уравнениям
Эйлера-Ла-
гранжа (3.906). ?
§ 6. Суперсимметричная теория поля
65
Фазовым пространством в теории поля на вертикальном касательном
расслоении VY является вертикальное расслоение Лежандра
пvy = V'VY А ('а Т*х).
VV \ /
VY
Лемма 3.6.1. Существует изоморфизм расслоений
UVY ^VU, (3.91)
VY
записанный относительно голономных координат
