Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 22

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 75 >> Следующая

координатами (а;Л) z%). Пусть
7 = Г+7л\vbdxx(r)da - связность на композиционном расслоении
Е Z -> X,
которая представляет собой линейный морфизм над связностью Г на
расслоении Z -> X (см. второй том [12], Предварительные сведения, Раздел
30, а также [78, 113J). Тогда имеет место мономорфизм расслоений
7s: ЛЬ* 0 ТХ Э uxdx ~ их (дх + г\di + 7Л V4) € Ve z
над Z, называемый композиционной градуированной связностью на Z -* X [
113]. Она представляет собой сечение
Is = Г + 'ухаьсьдхх (r) да (3.34)
расслоения Т*X 0 Ve Z такое, что композиция z
Z т'Х 0 VE -* Т"Х 0 (лЬ* 0 TZ) Т* X 0 TZ -> Т"Х 0 ТХ
Z Z 4 Z ' Z Z
является формой на Z, индуцированной канонической тангенциально-значной
формой йхх (r) дх на X. ?
42
Г лава 3. Суперсвязности
Пусть снопа (Z, А) - произвольное градуированное многообразие. Дуальным к
пучку дифференцирований Der Л является пучок DerM, порождаемый морфизмами
Л-модулей
ф: DerM(lO) - A(U). (3.35)
Сечения этого пучка естественно рассматривать как градуированные I -формы
на градуированном многообразии (Z,A) (или просто на Z).
В случае простого градуированного многообразия (Х,Ац) градуированные 1-
формы можно представить сечениями векторного расслоения -> Z, которое
является А К*-дуальным к расслоению Уд. Это векторное расслоение локально
изоморфно векторному расслоению
Щи
:ЛВ*<8>(рг2УЬ'*(r)Г*я)|у (3.36)
с функциями перехода
. -д-1"! д-1'1
¦ В А - Р j, • • • Р
Л J
Ч,...Ь ,А + Jj~^yVh...k.tjdAPhk
для послойных координат (гЯ|...Я|д, г^,...^-), к = 0,..., гп, записанных
относительно дуальных базисов {dzA} кокасатсльного расслоения Т*Z и {dcb}
расслоения рт2У*Е - Е*. Принимая во внимание локальный изоморфизм (3.36),
расслоение Vjj, как и расслоение У*-, можно рассматривать локально как
суперрасслоение Неемана-Куиллена
(см. ниже § 3.7). Пучок сечений векторного расслоения V*K -<• Z
изоморфен пучку Der' А к. Глобальные сечения расслоения -* Z
образуют градуированный
Ац(Е)-модуль градуированных 1-форм
ф = фАйг* + <Мс" (3.37)
на (Z,Ak). Тогда морфизм (3.35) можно трактовать как внутреннее
произведение (свертку)
иаф = иАфА+(-\)\+лиафа (3.38)
градуированных векторных полей и градуированных 1-форм.
На области тривиализации U градуированного многообразия (Z, А) сечения
пучка градуированных форм Осг*Л|(/ имеют вид (3.37). Если U' - другая
область тривиализации с функциями перехода (3.14), градуированные 1-формы
подчиняются закону координатных преобразований
ПгЬ(П lj\
ф'" = Ф'л = Фл+ 9ac'(zd, с'1)ф,
Если U и U1 - области тривиализации одного и того же векторного
расслоения Е из Теоремы 3.2.2 с функциями перехода (3.15), закон
координатных преобразований градуированных I-форм становится аффинным
Фа = Р~'ЬаФь, Фа = ФА+ Р~'Ьа^А(Р])Фьс' ¦
Имеет место точная последовательность векторных расслоений
О - А?7* <S) T*Z - Vj; - АЕ* <g) pr2VE* - 0 (3.39)
z z
над Z. Всякая градуированная связность 7 (3.26) задает расщепление этой
точной последовательности и определяет соответствующее горизонтальное
разложение градуированных 1-форм
ф = фАдгл + фадса = (фА + фаj^)dzA + фа (dca - 7AdzA).
§ 2. Связности на градуированных многообразиях
43
13 заключение напомним основные элементы теории градуированных внешних
дифференциальных форм [77, 89, 1001.
Градуированные А:-формы ф определяются как сечения градуированного
внешнего
к
произведения Д Оег*Д пучка Der*Л так, что
фЛа = (~\)m<,^ WWcj Л ф. (3.40)
В частности,
dxX A dc - -dc Л dxx, dc% Л dc* = dc1 Л dc'. (3.41)
Внутреннее произведение (3.38) обобщается на градуированные внешние формы
высших степеней, следуя соотношению
и j (ф Л а) = (и j ф) Л о + (- |)№1+М1м10 л (и j а). (3.42)
Градуированный внешний дифференциал d градуированных функций определяется
равенством
ujdf = u(f),
записанным для произвольного градуированного векторного поля и. Он
обобщается на градуированные внешние формы, исходя из формулы
d^ Л а) = ^ф) Л о + (~\)^ф Л (der), dod = (), (3.43)
и дается координатным выражением
<fy = dzA ЛдА(ф)+Фса Лда(ф), (3.44)
где левые производные дл, ди действуют на коэффициенты градуированных
форм
по закону (3.18) и коммутируют с формами dzA, dca. Лемма
Пуанкаре также распро-
страняется на градуированные внешние формы (30, 100|.
Производная Ли градуированной внешней формы ф вдоль градуированного
векторного поля и дается привычным выражением
Ъиф - XI Jdф + d(u j ф) (3.45)
и удовлетворяет соотношению
1п(ф Л ф') = 1и(ф) Аф' + (-1)1""^ л L,,(ф').
Замечание 3.2.6. Градуированные формы можно представить как сечения
внешних произведений векторного расслоения V*h: -> Z. Поэтому пучки
градуированных
к
форм Д Der*.4 являются тонкими. Они образуют тонкую резольвенту
2
0 - К -" А - Der *Л -" Д Der *А -" ... постоянного пучка К на
многообразии Z и составляют коцепной комплекс
0 -" R -" A(Z) Der * A(Z) (д Der * л) (Z) ... (3.46)
градуированных внешних форм на Z, называемый градуированным комплексом Де
Рима. Тогда как следствие Теоремы 1.3.8 существует изоморфизм
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed