Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
определяются ассоциированные суперрасслоения и суперсвязности на этих
суперрасслоениях. В частности, всякое супервекторное расслоение с
типичным слоем размерности (r,s) является суперрасслоением,
ассоциированным с главным суперрасслоением со структурной супергруппой Ли
GL(r\s; Л) [30].
§5. Главные градуированные расслоения
Главные градуированные расслоения и связности на них описываются
аналогично главным суперрасслоениям и суперсвязностям на этих
суперрасслоениях. Следует, однако, заметить, что аппарат главных
градуированных расслоений предшествовал теории главных суперрасслоений
[18, 100). Поэтому мы остановимся здесь только на некоторых специфических
элементах теории главных градуированных расслоений (см. ее детальное
изложение, например, в [ 143|).
Пусть (Z,A) - градуированное многообразие размерности (га,т). Важным
элементом теории градуированных многообразий, который ранее не
упоминался, является конечное сопряженное A(Z)° алгебры A(Z), состоящее
из элементов а дуального модуля A(Z)*, которые обращаются в 0 на идеале
A(Z) конечной коразмерности. Это градуированная коалгебра, наделенная
копроизведением
(Д")(/ 0 /') = a(ff'), V /, /' G A(Z),
и коединицей
е°(а) =Га(1^).
В частности, A(Z)° включает оценочные элементы 6г такие, что
<М/) = И/))(*)-
62
Глава 3. Суперсвязности
Для данного оценочного элемента 6Z элементы и ? A(Z) называются
примитивными относительно 6г, если они удовлетворяют соотношению
A°(v) = и (r) 6Z + 6Z (r) и. (3.85)
Эги элементы представляют собой дифференцирования A(Z) в г, т. е.
"(//') = ("/)№/') + (-I)Mi/W)("/').
Определение 3.5.1. Градуированной группой Ли (G, 0) называется
градуированное многообразие такое, что его тело G - это обычная группа
Ли, структурная алгебра Q(G) является градуированной алгеброй Хопфа (Д,е,
S), а эпиморфизм алгебр
о: (7(G) -> C~(G)
- это морфизм градуированных алгебр Хопфа. ?
Можно показать, что конечный сопряженный 0(G)0 алгебры (7(G) наделен
структурой алгебры Хопфа с операцией умножения
а*Ъ =="(а (r) 6) о Д, Vя, Ъ G 0(G)°. (3.86)
Относительно этой операции умножения оценочные элементы <5V, g G G,
образуют группу 6д * = 6д,у, изоморфную группе Ли G. Поэтому они
называются также груп-
поподобными элементами. Нетрудно установить, что множество примитивных
элементов 0(G)0 относительно оценочного элемента <5,., т. е. касательное
пространство Т, (С, (7) является сулералгеброй Ли относительно операции
умножения (3.86). Она называется супералгеброй Ли g градуированной группы
Ли (G,Q).
Говорят, что градуированная группа Ли (G,Q) действует на градуированное
многообразие (Z, А) справа, если существует морфизм градуированных
многообразий
(<р,Ф): (Z,A)x(G,0)^(Z,A) такой, что соответствующий морфизм
градуированных алгебр
Ф: A(Z) -> A(Z)(r)6(G) задает структуру правого 0(С)-комодуля на A(Z), т.
е.
(Id (r)Д) оФ = (Ф(r)и)оФ, (Id (r)е) о Ф = Id .
Правое действие (<р, Ф) вместе с произвольным элементом a G 0(G)0
определяют линейное отображение
Фа = (Id (r)а) о Ф: A(Z) -* A(Z). (3.87)
В частности, если а - примитивный элемент относительно оценочного
элемента 6е, тогда Ф" е Der A(Z).
Рассмотрим правое действие градуированной группы Ли (G,0) на себя.
Пусть
Ф = Д и а = Ья - группоподобные элементы. Тогда Фа (3.87)
представляет собой
однородный изоморфизм градуированных алгебр ранга 0, соответствующий
правым сдвигам в группе Ли G ->• Gg. Если а е g, то Ф" -
дифференцирование структурной алгебры 0(G). Пусть {",•} - базис g.
Дифференцирования Ф", образуют глобальный базис модуля дифференцирований
Der 0(G) структурной алгебры 0(G), т. е. Der 0(G) является свободным
левым (7(С)-модулем. В частности, имеет место разложение
0(G) = 0'(G)&0"(G),
R
0'(G) = {/ е 0(G): Ф"(/) = О, V(r) е go},
g"(G) = {/ е 0(G): Ф"(/) = О, V(r) е g,}.
§5. Главные градуированные расслоения
63
Посксш.ку Q'(G) = (G), можно показать, что всякая градуированная
группа
Ли (G, Q) представляет собой пучок сечений некоторого внешнего
тривиального рас-слоения G х g* -> G [18, 41, 100].
Перейдем теперь к определению главного градуированного расслоения. Правое
действие (<р, Ф) градуированной группы Ли (G,(7) на градуированное
многообразие (Z,A) называется свободным, если для каждой точки z G. Z и
морфизма Фг: A(Z) -* Q{G) дудтьный морфизм G(G)° -> A(Z)V является
инъекцией.
Правое действие (<р, Ф) градуированной группы Ли (G, Q) на градуированное
многообразие (Z, А) называется регулярным, если морфизм градуированных
многообразий
(<р X рг,) О Д: (Z, А) X (G, G) -> (Z, А) х (Z, А)
определяет замкнутое градуированное подмногообразие прямого произведения
(Z, А) х (Z,A).
Замечание 3.5.1. Отметим, что градуированное многообразие (Z1, А')
называется градуированным подмногообразием градуированного многообразия
(Z, А), если существует морфизм градуированных многообразий (Z1, А') ->
(Z, А) такой, что соответствующий морфизм A'(Z')° -> A(Z)° - включение.
Градуированное подмногообразие называется замкнутым, если dim (ZА!) < dim
