Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
образом.
Определение 3.3.4. G-Супермногообразием размерности (п, то) называется
пространство градуированных локальных Л-колец (М, G^), удовлетворяющее
следующим условиям:
• М - паракомпактное топологическое пространство;
• (M,Gm) локально изоморфно (В"'т, (?п т);
• существует морфизм пучков градуированных Л-алгебр <5: GM -" С'1; , где
С,у -
СМ(r)Л - пучок непрерывных Л-значных функций на М и <5 локально изоморфен
оценочному морфизму (3.58).
?
48
Глава 3. Суперсвязности
Пример 3.3.1. Тройка (B"'m, <7",т, <5), где 6 - оценочный морфизм (3.58),
называется стандартным супермногообразием. ?
Замечание 3.3.2. Любое GH(tm)-супермногообразие (M,GH^) со структурным
пучком GHm естественным образом расширяется до G-супермногообразия (М,
GH^(r) Л). Всякое G-супермногообразие определяет базовоеС^ -
супермногообразие (М. 6(GU)), где 6{GM) - GjJD - пучок Gx-суперфункций на
М. ?
Морфизмы G-супермногообразий - это морфизмы пространств градуированных
локальных колеи. В частности, всякий морфизм (ip, р*) GH*-
супермногообразий
естественным образом продолжается до морфизма (р, Ф) G-супермногообразий:
где Ф(F (r)а) = p*(F) (r) а.
Как и в случае гладких супермногообразий, базовое пространство М G-cynep-
многообразия (М, Gm) наделено структурой вещественного гладкого
многообразия размерности 2N~\n + m), а морфизмы G-супермногообразий - это
морфизмы гладких базовых многообразий. Тем не менее, неизоморфные G-
супермногообразия могут иметь диффеоморфные базовые гладкие многообразия
(см. ниже).
Аналогично свойствам пучка Der<7n m градуированных дифференцирований
канонического пучка G-суперфункций пучок Der Gm градуированных
дифференцирований структурного пучка G-супермногообразия является
локально свободным с локальным базисом {д/дхг, д/ду1}. Суперкасательное
пространство Tq(M, Gм) к G-супермного-образию (M,Gm) в точке q € М
определяется как градуированный Л-модуль градуированных Л-значных
дифференцирований стебля Gm4 пучка Gm я точке q € М. Оно изоморфно
фактору DerGm4/{M4 ¦ DerGM9), где Mq С Gm4 - подмодуль ростков сечений /
пучка Gm, обращающихся в 0 в точке q, т.е. 6(f)(q) = 0. Базисными
элементами суперкасательного пространства Tq(M,GM) являются операторы
Для всякого открытого подмножества U супервекторного пространства Вп,тп
пространство Qn.m{U) может быть наделено топологией, превращающей его в
алгебру Фреше. При этом существуют изометрические изоморфизмы
дщт{и) ^Н°°(и)(r)А = С°° (an'm(U)) (r) А(r) АКт = С°° (an'm{U)) (r) лМлг+т.
(3.60)
Замечание 3.3.3. Изложим коротко аксиоматический подход к
супермногообразиям, который при различном выборе градуированных алгебр
позволяет получить все известные типы супермногообразий как частный
случай так называемых Д°°-супер-многообразий [30, 31, 46]. Этот подход
развивает теорию Д-супермногообразий М. Рот-штейна [135] (см. детальное
обсуждение в [30, 31]). Отметим, что в общем случае Д°° -
супермногообразия вводятся над уже упоминавшимися алгебрами Аренса-
Михаеля типа Грассмана [46]. Мы не будем подробно останавливаться на
топологических аспектах определения этих супермногообразий, хотя именно
топологические свойства отличают Д°°-супермногообразия от Д-
супермногообразий М. Ротштейна (см. ниже).
Пусть Л - вещественная градуированная алгебра вышеназванного типа (для
простоты понимания читатель может считать, что, как и ранее, Л - алгебра
Грассмана). Суперпространством над Л называется тройка (М, А, 6), где М -
паракомпактное топологическое пространство, А - пучок градуированных Л-
алгебр на М и 6: А ->> Cfc _
(М, GHm) - (m',gh?,)
(М, Gtf А?) (r) А-* (М1, GHm, (r) Л),
§ 3. Суперрасслоения и суперсвязности
49
оценочный морфизм в пучок С^ непрерывных Л-значных функций на
топологическом пространстве М. Сечения пучка А называются R* -
суперфункциями. Рассмотрим градуированный идеал Мч стебля Aq, q G М,
образованного ростками Д°°-суперфункций /, обращающихся в 0 в точке q, т.
е. таких, что 6(f)(q) - 0.
Д'*' -Супермногообразием размерности (п,т) называется суперпространство
(М,А,6), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам [46|.
Аксиома 1. Градуированный пучок Der*4, Л-дуальный к пучку
дифференцирований пучка А, является градуированным локально свободным
пучком Л-модулей ранга (п,т). Всякая точка q 6 М имеет открытую
окрестность U вместе с сечениями х',...,хп 6 A(U)o, у\...,ут G Л({7)|
такими, что {dx\dyj} - градуированный базис модуля Оег*Л({7) над A(U).
Аксиома 2. Если такая координатная карта задана, сопоставление
q -*¦ (6(x'),6(yj))
определяет гомеоморфизм U на открытое подмножество в Вп'т.
Аксиома 3. Для любой точки q G М идеал Мя конечно порожден.
Аксиома 4. Для всякого открытого подмножества U С М топологическая
алгебра A(U) является отделимой и полной.
Отметим, что R-супермногообразие над градуированной коммутативной
банаховой алгеброй, удовлетворяющее Аксиоме 4, является Д00-
супермногообразием.
В частности, стандартное супермногообразие из Примера 3.3.1 является Д^-
