Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
пой Ли, если заданы следующие морфизмы G-супермногообразий:
• умножение in: Н х Н -> Я;
• единица е: е -> Н;
• взятие обратного S: Н -> Н\ вместе с естественным отождествлением
ехН~Й хе = Я.
Они должны удовлетворять
• условию ассоциативности
fno(ldxfn) = mo (fh х Id): Н х Н х Н -" Н х Н -
• свойству единицы
(то о (? х Id)) (ехЯ) = (то о (id хе)) (Я хе) = Id Я;
• свойству обратного
(то О (s, Id))(Я) = (то о (Id, S))(H) = ?(е).
§ 4. Суперсвязности на главных суперрасслоениях
57
Для точки д 6 Я обозначим у: е -+ Я морфизм G-супермногообразий, образом
которого в Я является точка д. Тогда можно ввести операции левого Lg и
правого Rv сдвигов в G-супергруппс Ли вдоль морфизма д как морфизмов G-
супермногообразий
Lf Н = ех Я ^йх Я -Я,
Rg: Й = Нхе ^*йхй -^Я.
Замечание 3.4.1. Если Я - G-супергруппа Ли ранга (т,п), ее базовое
гладкое многообразие Я наделено структурой вещественной группы Ли
размерности 2N~>(n + m), называемой базовой группой Ли. В частности,
левым и правым сдвигам в G-cyncprpynne Ли вдоль морфизма д отвечают
обычные левый и правый сдвиги в базовой группе Ли на элемент д. ?
Переформулируем теперь аксиомы группы в Определении 3.4.1 в терминах
структурного пучка Я G-супсргруппы Ли (Я, Я). Мы увидим, что Я обладает
свойствами пучка градуированных алгебр Хопфа.
Замечание 3.4.2. Напомним (см. [13|, §4.9, а также, например, |16|), что
вещественное (или комплексное) векторное пространство А называется
коалгеброй, если существуют морфизмы:
• копроизведения Д: А -+ А (r) А;
• коединицы е: А -+ К;
которые удовлетворяют соотношениям
(Д 0 Id)A(a) = (Id (r)Д)Д(а),
(е (r) ld)A(a) = (Id (r)е)Д(а) = а, а 6 А'
Пусть А - ассоциативная R-алгебра с единицей е, т. е. это К-кольцо, где
умножение т записано как морфизм
т: А (r) А Э a (r) b ab ? A, a,b G А.
Отметим, что А(r) А - это тоже К-кольцо относительно операций
(а(r)Ъ)(r) {а! <8> Ь') ^ (аа') 0 (ЬЬ1),
А (а (r)Ь) = (Ха) (r)Ъ=а(r) (А Ь), ' 6 Л'
Биалгебра (А,т,А,е) определяется как коалгебра А, которая является еще и
R-кольцом так, что
Д(е) = е(r)е, е(е) - 1.
Тогда алгебра Хопфа (А,т, Д, е, S) - это биалгебра, наделенная операцией
ко-обратного S: А -> А такой, что
m((S (r) Id)A(a)) = m((ld (r)S)A(a)) = е(а)е.
?
Если (Я, Я) - G-супергруппа Ли, ее структурный пучок Я допускает
следующие морфизмы:
• коумножения т*: Я -> т,(Я(r)Я);
• коединицы ?*: Я -> е,(Л);
• кообратного S: Я -> в*Я.
58
Глава 3. Суперсвязности
Обозначим
к = га о (Id xm) = га о (га х Id): Н х Н х Н -* Н.
Тогда аксиомы супергруппы Ли в Определении 3.4.1 эквивалентны
соотношениям
((ld(r)m*) ога*)(Я) =-- ((m*(r) Id) о го*) (Я) = к,(п (r) Я (r) Я),
(??/,* о (id (r)Г*)) (Я (r) е,(Л)) = (га* о (Г* (r) Id)) (е,(Л) <§ Я) = Id
Я,
(id ¦ S*) о fri* - (S'* • Id) о m* = e*.
Сравнивая эти соотношения с аксиомами алгебры Хопфа в Замечании 3.4.2,
можно говорить о структурном пучке G-супергруппы Ли как о пучке
градуированных
топологических алгебр Хопфа.
Пример 3.4.3. Градуированная общая линейная группа GL(n[m\ А) наделена
естественной структурой Я х-супермногообразия размерности (п2 + га2,
2nm). Произведение суперматриц порождает Я х-морфизм
га: GL(n|ra; A) х GL(n\m\ А) -<¦ GL(n|ra; А)
такой, что т(д,д') >-* т(дд'). Отсюда следует, что GL(?r|m;A) - это Ях-
супергруппа Ли. Она очевидным образом расширяется до G-супергруппы Ли
GL(n\m; А), называемой общей линейной супергруппой. ?
Супералгебра Jlu h G-супергруппы Ли Я определяется как алгебра
левоинваринтных супервекторных полей на Я. Напомним, что супервекторное
поле и на G-cynep-многообразии Я - это градуированное дифференцирование
сю структурного пучка Я. Оно называется левоинвариантным, если
(Id (r)и) о га* = га* о и.
Если и и и' - два левоинвариантных супервекторных поля, то таковыми же
являются их коммутатор [и, и \ и линейная комбинация аи + а'и, а, а' Е А.
Следовательно левоинвариантные супервекторные поля образуют супералгебру
Ли. Супералгебра Ли h может быть отождествлена с суперкасательным
пространством ТС(Н). Более того, существует изоморфизм пучков
Я (r) h = Derft, (3.78)
т.е пучок супервекторных полей на G-супергруппе Ли Я является глобально
свободным пучком градуированных Я-модулей ранга (п, га), порождаемым
левоинпариантными супервекторными полями. Супералгебра Ли
правоинвариантных супервекторных полей на G-супергруппе Ли Я вводится
аналогичным образом.
Рассмотрим теперь правое действие G-супергруппы Ли Я на G-
супермногообразие Р. Это морфизм G-супсрмногообразий
р: Р х Н -* Р
такой, что
ро (р х Id) = р о (id хга): Р х Я х Я -> Р, ро (id хе) (Р х е) = Id Р.
Левое действие Я на Р определяется аналогично.
Пример 3.4.4. Ясно, что G-супергруппа Ли действует на себя слева и справа
посредством морфизма умножения га.
§ 4. Суперсвязности на главных суперрасслоениях
59
Общая линейная супергруппа GL(n\m;A) действует линейно на стандартное
супермногообразие -В"1" слепа посредством суперматриц, и это действие
является морфизмом G-супермногообразий. ?
