Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 19

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 75 >> Следующая

(i) Существует точная последовательность пучков
0- >R ------------------------>О, П = А\ +(Д,)2, (3.8)
где Сх - пучок гладких функций на Z.
(ii) R/R1 - локально свободный С%-модуль конечного ранга, и А локально
изоморфен внешнему произведению Ас}{Я/П2). ?
Пучок А называется структурным пучком градуированного многообразия (Z,A),
а многообразие Z - телом градуированного многообразия (Z, А). Эта
терминология мотивируете* упомянутым вампе- соответствием между
градуированными многообразиями и супермногообразиями Де Витта Сечения
пучка А называются градуированными функциями.
Градуированное многообразие является пространством градуированных
локальных колец. Поэтому морфигм градуированных многообразий {Z, А) ->
(Z'A!) определяется как
36
Глава 3. Суперсвязности
морфизм <р: Z Z1, Ф: А' -> (р,А пространств локальных колец, где Ф -
четный морфизм.
Непосредственно из определения следует, что градуированное многообразие
(Z, А) имеет следующую локальную структуру. Для всякой точки 2 € Z
существует открытая окрестность U такая, что
A(U) =* C,x(J7)(r)AMm. (3.9)
Это означает, что ограничение А\и структурного пучка А на U изоморфно
пучку сечений Сц (r) AlRm тривиального внешнего расслоения
АЕ*и = U х лЛГ U.
Поэтому U называется областью тривиаяизации градуированного многообразия
(Z, А).
Известная теорема Батчелора [30, 32] (см. ниже Теорему 3.2.2)
устанавливает, что такая структура градуированного многообразия является
не только локальной, но и глобальной. Структурный пучок А градуированного
многообразия (Z, А) получается склеиванием локальных пучков Су <8> Л К"'
посредством функций перехода из Предложения 1.3.1, которые образуют
коцикл пучка Ащ(лКш)|Х, гладких отображений многообразия Z в группу
Aut(AMm). Теорема Батчелора основывается на взаимно однозначном
соответствии между множествами когомологий H*(Z; Aut (лКт)^) и
Я'(Д;СТ(т,Мт)00).
Тюрьма 3.2.2. Пусть (Z, А) - градуированное многообразие размерности
(п,т). Существует векторное расслоение Е -* Z с m-мерным типичным слоем V
такое, что структурный пучок А этого градуированного многообразия
изоморфен пучку
AK = Cf(r)AV* (3.10)
сечений внешнего расслоения
(т к ч
ФА#*), (з.п)
*=I у
типичным слоем которого является алгебра Грассмана ЛТ*. ?
Следует подчеркнуть, что изоморфизм Батчелора из Теоремы 3.2.2 не
является каноническим. Поэтому можно говорить только о взаимно
однозначном соответствии между классами изоморфных градуированных
многообразий нечетного ранга т и классами эквивалентных m-мерных
векторных расслоений над гладким многообразием Z.
Тем не менее этот изоморфизм позволяет установить некоторые
важные свойства
градуированных многообразий.
Следствиь 3.2.3. Структурный пучок А градуированного многообразия (Z, А)
изоморфен пучку сечений 2т-мерного вещественного векторного расслоения Т
-" Z с типичным слоем АМт и структурной группой Aut(AMm) такого, что
всякая область тривиализации U градуированного многообразия (Z, А)
является также областью три-виализации векторного расслоения Т -> Z с Aut
(лМш)-значными функциями перехода. Структурная группа Аш(лКт) векторного
расслоения Т -> Z редуцирована к группе GL(m, К), и Т -> Z изоморфно
внешнему расслоению ЛЯ* -" Z согласно Теореме 3.2.2. ?
Следствие 3.2.4. Структурный пучок А градуированного многообразия (Z, А)
является тонким и, следовательно, ацикличным. ?
Следствие 3.2.5. Прямое произведение двух градуированных многообразий (Z,
А) и (Z1, А!) - это градуированное многообразие, телом которого является
Z х Z, а его структурный пучок А(r) А! изоморфен тензорному произведению
{Cf(r)C$)(r)A(V(r)V'y (3.12)
(см. изоморфизмы (1.67) и (3.10)). ?
§ 2. Связности на градуированных многообразиях
37
На области тризиализации U градуированного многообразия градуированные
функции принимают зид
ш .
/ = ? -Д,..аДг)с"'...са', (3.13)
*=П
где faf...ai.(z) - гладкие функции на U, {с'1} - базис слоев расслоения
Е* и опущен символ внешнего произведения элементов с. В частности,
эпиморфизм пучков а из точной последовательности (3.8) сводится в такой
записи к body-морфизму. Мы будем называть {с"} локальным базисом
градуированного многообразия.
Если U' - другая область тривиализации градуированного многообразия и U
nU1 Ф 0, функции перехода между локальными базисами градуированного
многообразия имеют вид
c'a = pa(zA,cb), (3.14)
где pa(zA,cb) - градуированные функции на U П U'. Это функции перехода
расслоения Т -*¦ Z из Следствия 3.2.3. Из (3.14) легко получить
соответствующий закон координатных преобразований градуированных функций
(3.13). В частности, если U и U' - области тривиализации одного и того же
внешнего расслоения из Теоремы 3.2.2, функции перехода (3.14) сводятся к
линейным преобразованиям
c,a = pab(zA)cb, (3.15)
где pl(z) - гладкие функции на U П U'.
Следуя § 1.3, чтобы определить связность на градуированном многообразии,
нам нужно ввести пучок дифференцирований и пучок внешних форм
структурного пучка градуированного многообразия.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed