Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
сечений, связность на этом супервекторном расслоении определяется так же,
как в Определении 1.3.6. Разница только в том, что S - пучок
градуированных локально свободных Gm -модулей.
Как и в случае точной последовательности (1.69) в § 1.3, можно построить
точную последовательность пучков
0 Der *GU (r)S (Gm (c) Der *GU) (r) S S -> 0 (3.72)
как прямой предел точной последовательности (1.35) для градуированных
GM(U)-модулей S(U), где mod^2 - это фактор по градуированным соотношениям
1 <8> (abp) = (- l)l°N^i> (r) (ар) + а (r) (bp) - ab(r)p,
I <3> ab - (- I)1"11*1^ 0 а -аЬ(r)1
(сравните с (1.15) и (1.18)). Точная последовательность (3.72) в общем
случае не расщепляется. Она допускает расщепление тогда и только тогда,
когда существует четный морфизм пучков
V: S- Der*Gw (r) 5, (3.73)
§ 3. Суперрасслоения и суперсвязности
55
удовлетворяющий правилу Лейбница
V(fs) = d.f(r)s + fV(s), f€GM(U), s е S(U), (3.74)
для произвольного открытого подмножества U ? М.
Определение 3.3.15. Морфизм пучков (3.73) называется суперсвязностыо на
супервекторном расслоении ж (3.68). ?
Кривизна суперсвязности (3.73) дастся выражением
R = V2: Д Der^S, (3.75)
аналогичным выражению (1.77).
Как и в случае пучков С*-модулей, точная последовательность (3.72) ведет
к точной последовательности пучков
О - Horn (S, Der *GM (r) S) -> Нот (S, (GM ф Der *GM) (r) S) -> Нот (S, S) -
О
и к соответствующей точной последовательности когомологических групп
О - Я"(М; Нот (S, Der *GM (r) S)) - Я°(М; Нот (S, (GM 0 Der *Gm) (r) S)) ->¦
->¦ Я(,(М; Нот (5, 5)) - Я'(М: Нот (5, Der'G^ (r) S)) ->....
Точная последовательность (3.72) определяет класс Атьи
А1(тг) е Я'(М; Нот (5, Dcr'G^ (r) 5))
супервекторного расслоения 7Г (3.68). Если At(7r) = 0, суперсвязность на
этом супервекторном расслоении существует (см. § 1.3). В частности,
суперсвязность существует, если множество когомологий
Я'(М; Нот (S, Der*GM (r) 5))
тривиально. В отличие от случая гладких векторных расслоений, структурный
пучок Gm G-супермногообразия, вообще говоря, не является ацикличным,
пучок Нот (S, Der *GM (r) S) имеет нетривиальные когомологии и
супервекторное расслоение может не иметь связности.
Пример 3.3.6. Структурный пучок стандартного супермногообразия (В"'т,
ацикличен (см. Предложение 3.3.5), и супервекторное расслоение
(вп-т,д".т) х (вг|*,ег|<) - (ва'т,д",т) (з.7б)
допускает суперсвязность, например, тривиальную суперсвязность. ?
Пример 3.3.7. Если (M,GM) - G-супермногообразис Де Витта, его структурный
пучок GM ацикличен, и таким же является локально свободный пучок Нот (S,
Der *Gm (r) S) (см. Предложение 3.3.10). Отсюда следует, что супервекторное
расслоение над G-супермногообразием Де Витта всегда может быть наделено
суперсвязностью. ?
Пример 3.3.6 позволяет получить локальное координатное выражение для
суперсвязности на супервекторном расслоении ж (3.68) с типичным слоем
Br^a и базой, которая является G-супермногообразием, локально изоморфным
стандартному супермногообразию дп,т). Пусть U С М - область
тривиализации (3.70) этого супервектор-
ного расслоения такая, что всякое сечение ж\ц представимо суммой s -
sa(q)e", а пучок суперформ Der'GM\u имеет локальный базис {dq1}. Тогда
суперсвязность V (3.73), ограниченная на эту область тривиализации,
задается семейством коэффициентов
V(e") = dq*(r) (Vi*eet), (3.77)
56
Глава 3. Суперсвязности
где V,"f, - G-суперфункции на U. Принимая во внимание правило Лейбница
(3.74), можно также вычислить компоненты формы кривизны (3.75)
суперсвязности (3.77):
R(en) = \dq' Л dqj (r) Rijbaeb,
= (- l)l'HJlc", Vja6 - djViah + (-l)l<l,lj'l+|e|+|ft|)V/*V1-ft6 - (-
l),jl<[n|+1*l)V,-aJt
Аналогично можно получить закон преобразований компонент суперсвязности
(3.77) относительно функций перехода (3.71). В частности, любое
тривиальное супервекторное расслоение имеет тривиальную суперсвязность
V,-6" = 0.
§ 4. Суперсвязности на главных суперрасслоениях
В отличие от супервекторных расслоений, структурный пучок GP главного
суперрасслоения (Р, GP) -> (М, Gm) в общем случае не является пучком
локально свободных
-модулей. Поэтому использовавшаяся до сих пор техника алгебраических
связностей на модулях и пучках неприменима непосредственным образом к
суперсвязностям на главных суперрасслоениях. Суперсвязности на главных
суперрасслоениях вводятся по аналогии со связностями на гладких главных
расслоениях [30] (сравните, например, точную последовательность (1.85) в
первом томе [life приведенной ниже точной последовательностью (3.83)).
Для простоты будем обозначать G-супермногообразия (М, Gm) и их морфизмы
tp\ М -> N, Ф: Gm -1¦ <р*(М)
как соответственно М и <р. Для данной точки q € М символом q = (q, Л)
будет обозначаться тривиальное G-супермногообразие размерности (0,0).
Мы начнем с понятия G-супергруппы Ли Н. Связь между G-, GH00- и G°°-
cynep-группами Ли вытекает из того, как связаны между собой
соответствующие типы суперфункций.
Определение 3.4.1. G-супермногообразие Н = (Н, Н) называется G-супергруп-
