Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для всякого открытого подмножества U С X точная последовательность (1.70)
порождает следующие две точные последовательности абелевых групп:
0 -" S'(U) - S(U) -> S"(U) (1.71)
и
0 -¦ S'(U) -" S(U) ->s?-> 0, (1.72)
где S'/ = S(U)/S'(U) в общем случае не совпадает с группой
сечений S"(U) на U
фактор-пучка S/S'. Пучок S на топологическом пространстве X называется
вялым, если для произвольной пары открытых множеств U С U' в X морфизм
ограничения S(U') -+ S(U) является сюръекиией. Это эквивалентно условию,
что любое локальное сечение s б S(U) пучка S на открытом подмножестве U С
X может быть продолжено до его глобального сечения s ? S(X). Тем самым
справедливо следующее утверждение.
Предложение 1.3.4. Если пучок S' из точной последовательности (1.70)
является вялым, тогда S'/ - S"(U) и имеет место точная последовательность
модулей
0 - S'(U) - 5(17) - S"(U) - 0 (1.73)
для любого открытого подмножества U С X, а значит, существует точная
последова-
тельность
0 - {S'(U)} - {S(U)} - {S"(U)} -> 0 (1.74)
канонических предпучков пучков из точной последовательности (1.70). ?
Предположим, что точная последовательность пучков (1.70) допускает
расщепление, т. е.
S = S' (r) 5",
тогда
{5(1/)} = {<?'(!/)} 0 {S"(U)j (1.75)
и канонические предпучки образуют точную последовательность (1.74), а
прямая сумма (1.75) является ее расщеплением.
Таким образом, связности на пучках и модулях могут быть сопоставлены
между собой следующим образом.
Предложение 1.3.5. Если существует связность на пучке Р из Определения
1.3.3, тогда для всякого открытого подмножества' U С X существует
связность на модуле P(U) локальных сечений пучка Р на U. Обратно, если
для любой пары открытых подмножеств V С U С X существуют связности на
модулях P(U) и P(V) его локальных сечений, связанные морфизмом
ограничения, тогда пучок Р допускает связность. ?
Пример 1.3.6. Пусть Y -* X - векторное расслоение. Всякая линейная
связность Г на У -+Х индуцирует связность на структурном модуле этого
расслоения Y(X) так, что для любого открытого подмножества U С X
ограничение Г|(/ является связностью на модуле локальных сечений Y(U).
Тем самым мы получаем связность на структурном пучке Yx векторного
расслоения Y -*¦ X. Обратно, связность на структурном пучке Yx векторного
расслоения Y -> X задает связность на его структурном модуле Y(X) и,
следовательно, связность на самом векторном расслоении Y -*¦ X. ?
§ 3. Связности на пучках
21
Непосредственным следствием Предложения 1.3.5 является тот факт, что
точная последовательность пучков (1.69) расщепляется тогда и только
тогда, когда существует морфизм пучков
V: Р^П'Л(r)Р, (1.76)
удовлетворяющий правилу Лейбница
V(/s) = d/(r)s + /V(s), feA(U), s6P(U),
для любого открытого подмножества U € X. Это приводит к следующему
эквивалентному определению связности на пучках (в духе Определения 1.2.2
связности на модулях).
Определение 1.3.6. Морфизм пучков (1.76) является связностью на пучке Р.
?
Как и для связностей на модулях, кривизна связности (1.76) на пучке Р
дается выражением
д = V2: Р^П2Х(r)Р. (1.77)
Связность на пучке существует необязательно, поскольку точная
последовательность (1.69) может не расщепляться. Приведем следующий
критерий существования связности на пучке, сформулированный в терминах
групп когомологий. Он основывается на том факте, что точная
последовательность пучков (1.70) на паракомпактном топологическом
пространстве X индуцирует точную последовательность групп когомологий
... -> Hk~'(X;S") -*• Hk(X;S') -> Hk{X;S) -> Hk(X;S") -> ... (1.78)
с коэффициентами в пучках S', 5 и S" [14].
Замечание 1.3.7. Не повторяя определения групп когомологий со значениями
в пучках (см. первый том [II], Приложение В, или, например, [14]),
напомним некоторые нужные нам свойства этих групп когомологий.
Пусть, как и раньше, 5 - пучок на топологическом пространстве X. Группа
когомологий H°(X\S) по определению изоморфна абелевой группе S(X)
глобальных сечений пучка S. Если S - пучок 7С-модулей, группы когомологий
Hk(X;S) - тоже 7С-модули.
Пучок 5 на топологическом пространстве X называется ацикличным, если
группы когомологий Hk>0(X; S) тривиальны. Например, вялый пучок
ацикличен.
Пучок 5 на топологическом пространстве X называется мягким, если любое
локальное сечение этого пучка на замкнутом подмножестве пространства X
является ограничением некоторого глобального сечения пучка S. Всякий
мягкий пучок на паракомпактном топологическом пространстве ацикличен, а
вялый пучок является мягким.
Пучок 5 на паракомпактном топологическом пространстве X именуется тонким,
если для всякого локально конечного открытого покрытия U - {67,};е/
пространства X (т. е. любая точка X имеет окрестность, пересекающуюся
лишь с конечным числом элементов этого покрытия) существует система {/г,}
эндоморфизмов /г,: 5 -" 5 таких, что:
• для каждого i найдется замкнутое подмножество Г) С 67, такое, что
hi(Sx) = 0,
если х ? Vf,
• Yj hi - тождественное отображение пучка S.
