Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
сечения расслоения П -" Е образуют бимодуль П(Е) над кольцом С0О(Е)
гладких вещественных функций на Е. В соответствии с Определением 1.2.7
связность V на модуле П(Е) сопоставляет всякому векторному полю т на
расслоении параметров Е дифференциальный оператор первого порядка
VT G DifT|(n(E), П(Е)), (2.14)
§ 2. Связности Берри
29
который удовлетворяет правилу Лейбница
VT(fs) = (rjdf)s + fVTs, яеП(Е), /ес°°(Е).
Выберем векторное поле т на расслоении Е таким, что dt jt = 1. На области
триви-ализации расслоения гильбертовых пространств П -* Е оператор Vr
(2.14) принимает вид
Vr(s) = (&t ~ iH(t, ak))s + тт(дт - iAm(t, cr*))s, (2.15)
где 7i(t, ak), Am(t, ak), V a € E, являются ограниченными
самосопряженными операторами н гильбертовом пространстве Е.
Рассмотрим теперь композиционное расслоение
II -* Е -* М.
Как и в случае гладких композиционных расслоений (см. второй том [ 121,
Предложение П.7), всякое сечение h(t) расслоения параметров Е -> К
определяет подрасслоение гильбертовых пространств
Пл = h*U -* К
расслоения П -* К с типичным слоем Е. Соответственно, связность V (2.15)
на С°°(Е)-модуле П(Е) задает индуцированную связность
Vft(V-)= [dt-i(Am(t,hk(t))dthm+H(t,hk(t))]4> (2.16)
на (К)-модуле Щ(К) сечений ip расслоения гильбертовых пространств Щ
-* К
(сравните с формулами (П.60), (3.111) во втором томе [12]).
Как и в предыдущем параграфе, назовем сечение ip расслоения гильбертовых
пространств Щ -* К интегральным сечением связности (2.16), если
Vft(y) = [dt - i(Am(t,hk(t))dthm +H(t,hk(t))]ip = 0. (2.17)
Уравнение (2.17) представляет собой уравнение Шрёдингера
квантовомеханической системы, зависящей от функций параметров h(t). Его
решения имеют вид (2.12), где Gt является Г-упорядоченной экспонентой
Gt = Техр || J(Am8fhm + n) Л'|. (2.18)
О
Член
итЦ,Е( t))dttin
в уравнении Шрёдингера (2.17) приводит к эффекту фазы Берри, тогда как И
представляет собой обычный гамильтониан квантовой системы. Чтобы более
четко выделить эффект фазы Берри, еще больше упростим рассматриваемую
систему.
При заданной тривиализации расслоения П -* Ш и упомянутой выше тривиа-
лизации Е_= Е х Z расслоения параметров Е предположим, что компоненты Ат
связности V (2.15) не зависят от времени t и что оператор Н{<г)
коммутируете операторами Ат(а) во всех точках кривой h(t) с Е. Тогда
оператор Gt (2.18) принимает вид
<
G, = rexp|i J Ат(ак) dam\ Т exp jt fu(t')dt'\. (2.19)
М|о,"|) о
30
Глава 2. Связности в квантовой механике
Первый множительв правой части выражения (2.19) можно интерпретировать
как параллельный перенос влоль кривой Л([0, <|) с Z относительно
индуцированной связности
V = i* V = dam 0 (0," - гА", (t, ок)) (2.20)
на расслоении гильбертовых пространств П -* Z, определяемой вложением
г: Z {0} х Я с Е.
Заметим, что, поскольку операторы Ат не зависят от времени, можно
использовать любое вложение Z -> {t} х ZБолее тою, связность V (2.20),
называемая связностью Берри, может быть представлена как связность на
некотором главном расслоении Р -> Z со структурной группой U (7?)
унитарных операторов в гильбертовом пространстве Е.
Пусть теперь кривая ft([0, <|) С Z замкнута, а группа голономии связности
V в точке h(t) = h(0) нетривиальна. Тогда унитарный оператор
Т ехр / г f Am(ok)dom\, (2.21)
Л(|и,ф
вообще говоря, не сводится к тождественному преобразованию.
Например, если
iAm(ok)=:iAm(<Tk)l (2.22)
- связность главного 1/(1)-расслоения над пространством параметров Z,
тогда оператор (2.21) представляет собой известный фазовый множитель
Берри
ехр /г f Am(ak)dam\.
A(|U.I|)
Если связность (2.22) является плоской, фаза Берри - это в
точности эффект
Ааронова-Бома на пространстве параметров Z (см. первый том,
§3.4).
Обобщая этот пример, рассмотрим случай, когда эффект фазы Берри
описывается связностью на главном расслоении, структурной группой
которого является обычная конечномерная группа Ли. Предположим, что Е -
сепарабельное гильбертово пространство, которое является гильбертовой
суммой n-мерных собственных подпространств гамильтониана Н(а), т.е.
Е=фЕк, Ек = Рк(Е),
* = I
тле Рк - проекционные операторы такие, что
Н(а)оРк = Хк(а)Рк
(в духе адиабатической гипотезы). Пусть операторы Ат(а) - Am(z) не
зависят от времени и сохраняют собственные подпространства Ек
гамильтониана И, т.е.
Ат(г) = Акп(г) ° А, (2.23)
к
где Ak,(z), z € Z, - самосопряженные операторы в Ек¦ Отсюда следует, что
операторы Ат(а) коммутируют с операторами Ща) во всех точках расслоения
параметров Е -* К. Тогда, будучи ограниченным на подпространство Ек,
оператор параллельного переноса (2.21) сводится к унитарному оператору в
Ек. В этом случае связность Берри (2.20) на главном и(?)-расслоении Р -+
Z может быть представлена как композиционная связность на композиционном
расслоении
Р - P/U(n) - Z,
§ 2. Связности Берри
31
которая определяется некоторой связностью на главном U(п)-расслоенин Р ->
P/U(n) и тривиальной связностью на расслоении P/U(n) -* Z. Типичный слой
