Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
ш
Тонкий пучок является мягким и ацикличным.
В частности, пусть 5 - пучок модулей над пучком непрерывных вещественных,
функций на паракомпактном пространстве X и U - {С7*}<€/ - локально
конечное покрытие X. Поскольку X паракомпактно, мы имеем ассоциированное
с покрытием U разбиение единицы {0,}, т. е.:
(i) 0j - вещественные неотрицательные непрерывные функции на X;
(ii) supp 0, с 67,-;
(iii) 12 Ф>(х) = 1 для всех х € X.
*€Г
22
Глава 1. Алгебраические связности
Элементы </>, этого разбиения единицы могут быть использованы для задания
эндоморфизмов /г,: S -> S из определения тонкого пучка. А именно, для
всякого открытого подмножества U С X положим Л,-(/) = </>,/, / G S(U).
Это эндоморфизм канонического предпучка {S(U)} пучка S и, следовательно,
эндоморфизм пучка S. Нетрудно убедиться, что эти эндоморфизмы
удовлетворяют требуемым условиям из определения гонкого пучка, т. е.
пучок S тонок. Если X - гладкое многообразие и И - открытое покрытие X,
всегда существует ассоциированное с U разбиение единицы, выполняемое
гладкими функциями. Отсюда, в частности, следует, что пучок Сх гладких
функций на многообразии X является тонким и ацикличным; то же относится к
пучкам сечений дифференцируемых векторных расслоений над X.
Предложение I.3.7. (30|. Пусть /: X -> X' - непрерывное отображение и S -
пучок на топологическом пространстве X. Если всякая точка х' ? X' имеет
базис открытых окрестностей {(/} таких, что пучки 5|^ i(f/) ацикличны,
тогда группы когомологий H*(X',S) и Н*(Х'\ ftS) изоморфны. D
Рассмотрим точную последовательность пучков
О -> S 50 -S\ ... (1.79)
на паракомпактном топологическом пространстве X. Она называется
резольвентой пучка S, если группы когомологий НЧ(Х\ Sp) тривиальны для q
^ 1 и р ^ 0. Например, это имеет место, когда пучки Sp^0 тонкие. В этом
случае точная последовательность (1.79) называется тонкой резольвентой
пучка S. Точная последовательность пучков (1.79) порождает коиепной
комплекс структурных модулей этих пучков
0 - 5(ЛГ) So(X) Л 5, (X) Л ... , (1.80)
который, вообще говоря, является точным только в члене S(X). Имеет место
известная теорема Де Рама (см., например, [ 14|).
Теорема 1.3.8. Если дана резольвента (1.79) пучка S на паракомпактном
топологическом пространстве X, q-я группа когомологий коиепного комплекса
(1.80) изоморфна группе когомологий Hq(X\S) с коэффициентами в пучке 5,
т.е.
НЧ>{\Х\ S) = Кегhq,/ lm ftj"1, Н"(Х\ S) = КегЛ','. (1.81)
?
Например, пусть X - связное гладкое многообразие, 5 = К - постоянный
пучок вещественных функций на X и Sp - (1Х - пучки внешних р-форм на X.
Существует последовательность тонких пучков
0 -> R -> П'у -> fi'v -" ... . (1.82)
Она является точной в соответствии е известной леммой Пуанкаре и, таким
образом, представляет собой тонкую резольвенту постоянного пучка R на X.
Соответствующая последовательность структурных модулей (1.80) совпадает с
известным комплексом Де Рама внешних дифференциальных форм на
многообразии X (см. первый том [И], формулу (3.23)). Согласно Теореме
1.3.8 имеет место изоморфизм групп когомологий Hq(X\R) со значениями в
постоянном пучке R на X и групп когомологий Де Рама НЧ{Х). ?
Вернемся теперь к точной последовательности (1.69). Пусть (X, .4) -
пространство локальных колец и Р - локально свободный пучок Л-модулей.
Тогда мы имеем точную последовательность пучков
0 - Horn (Р, П'Л <8> Р) - Нот (Р, (Л0 П'Л) (r) Р) - Нот (Р, Р) - 0
§ 3. Связности на пучках
23
и соответствующую точную последовательность (1.78) групп когомологий
О -* Н{)(Х; Нот (Р,П1Л(r)Р)) Н°(Х; Нот (Р, (Л (В П'Л) (r) Р)) -"
-"Я°(Л';Нот(Р1Р)) -" Я'^Нот (Р,П'Д(r)Р)) -"....
Очевидно, что тождественный морфизм Id: Р -> Р принадлежит группе Н°(Х;
Нот (Р, Р)). Его образ в Н'(Х; Нот (Р, iVA (r) Р)) называется классом Атьи.
Если этот класс тривиален, существует элемент в Horn (Р, (ДфП'Д) (r)Р)),
образом которого в Нот (Р, Р) является IdP, т. е. имеет место расщепление
точной последовательности (1.69).
В частности, пусть X -- дифференцируемое многообразие и Л = С* - пучок
гладких функций на X. Пучок DerC* его дифференцирований изоморфен пучку
векторных полей на многообразии X. Отсюда следует, что:
• для любой пары открытых множеств V С U существует морфизм ограничения
Der (C^(U)) -> Der(C*(V));
• DerCy - локально свободный пучок CJ-модулей конечного ранга;
• пучок векторных полей DerCf и пучок 1-форм Г2* на многообразии X
взаимно дуальны.
Пусть теперь Р - локально свободный пучок С%-модулей. Тогда Нот (Р, Г2* (r)
Р) тоже локально свободный пучок С%-модулей. Он является тонким и
ацикличным. Его группа когомологий Я1 (X; Horn (Р, Г2^ (r)Р)) тривиальна, и
точная последовательность
0->J2*(r)P^ (Сх (r)Г2*)(r)Р^Р^0 (1.83)
допускает расщепление.
В заключение рассмотрим сшс пучок S коммутативных С'х -колец на
многообразии X. Отталкиваясь от Определения 1.2.8, мы приходим к
следующему определению связности на этом пучке.
Определение 1.3.9. Всякий морфизм
