Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет уравнению
Оно имеет смысл уравнения Шрёдингера квантовой системы с гамильтонианом
'H(t).
В частности, пусть квантовая система является консервативной, т. е.
гамильтониан 7i(t) - Tin уравнении Шрёдингера (2.10) не зависит от
времени. Тогда для любой точки у ? Е существует решение
консервативного уравнения Шредингера. Если уравнение Шрёдингера (2.10) не
консервативно, оператор параллельного переноса в гильбертовом
пространстве Е относительно связности V* (2.8) на отрезке [0, t\ может
быть задан Т-упорядоченной операторной экспонентой
уравнения Шрёдингера (2.10), проходящее через у.
Подчеркнем, что оператор G, (2.11) является элементом группы li(A')
унитарных операторов в гильбертовом пространстве Е. Это вещественная
бесконечномерная группа Ли относительно равномерной операторной
топологии. Ее алгебра Ли - вещественная алгебра всех антисамосопряжснных
ограниченных операторов iTi в Е относительно коммутатора Оператор Gt
(2.11) по построению удовлетворяет уравнению
Это уравнение инвариантно относительно правых сдвигов Gt н-> Gtg, Vg ?
11(2?). Поэтому
можно рассматривать как оператор параллельного переноса в тривиальном
главном расслоении Ж х U(i?) над Ж со структурной группой U(i?).
Соответственно оператор (2.6) представляет собой оператор параллельного
переноса в тривиальном групповом расслоении Ж х Aut (А), где группа Aut
(А) действует на себя по присоединенному представлению.
V, W - (ft - гЩШ
(2.8)
6(a) = i\7i, а|, а ? В(Е),
(2.9)
v,(v-) = (ft - mm = о.
(2.10)
iit) = eimy, t € Ж,
(2.11)
o
Тогда для любого вектора у € Е мы получаем решение
т = Gty, te R+,
(2.12)
ftG, - iTiGt = 0.
(2.13)
Gi- (0,g) *-* (t, Gtg)
28
Г лава 2. Связности в квантовой механике
Замечание 2.1.2. В следующем параграфе задание квантовой эволюции как
параллельного переноса в главном расслоении будет распространено на
квантовомеханические системы с несколькими классическими параметрами,
зависящими от времени. Это приводит к описанию явлений типа фазы Берри. ?
Отметим, что I-параметрическая группа Gt, t € М, определяемая уравнением
(2.13), непрерывна в равномерной операторной топологии на группе
унитарных операторов U(i?) в гильбертовом пространстве Е. Обратимся
теперь к более общему случаю, когда кривая Gt, < € 1, непрерывна
относительно сильной операторной топологии на В(Е). Тогда кривые ip(t) =
Gty, у € Е, в Е тоже непрерывны, но могут быть недифференцируемыми.
Соответственно гамильтониан H(t) в уравнении Шрёдингера (2.10) уже не
является ограниченным оператором. Поскольку группа U(E) не является
топологической группой в сильной операторной топологии, произведение К х
U(??) не является ни гладким, ни главным расслоением над М. Поэтому
обычное понятие связности неприменимо к этому расслоению. В то же время,
как уже отмечалось, можно ввести обобщенные связности, описываемые
кривыми и операторами параллельного переноса, но не их генераторами (22|.
§2. Связности Берри
Имеется обширная литература (см., например, [20, 27, 38, 96, 119, 156]),
посвященная геометрическому и топологическому анализу явления,
называемого фазой Берри, в квантовомеханических системах с классическими
параметрами, зависящими от времени. Во втором томе [12], §3.9,
классические механические системы с такими параметрами были описаны в
терминах композиционных расслоений и композиционных связностей. Здесь это
описание распространяется на квантовомеханические системы [113|.
Рассмотрим квантовые системы, зависящие от конечного числа вещественных
классических параметров, представляемых сечениями гладкого расслоения Е -
> R. Для простоты зафиксируем тривиализацию этого расслоения Е - R х Z с
координатами (t,cr"'). Хотя может случиться, что расслоение параметров Е
-" К не имеет какой-либо преимущественной тривиализации, например, если
один из параметров - скорость системы отсчета.
В предыдущем параграфе мы охарактеризовали время с математической точки
зрения как классический параметр в квантовой механике. Эта характеристика
распространяется и на другие классические параметры. А именно, сопоставим
каждой точке <т € Е расслоения параметров Е некоторую С*-алгебру
интерпретируя ее как алгебру наблюдаемых квантовой системы при
фиксированных значениях параметров (<, <т"').
Замечание 2.2.1. Важно различать классические параметры и координаты, от
которых может зависеть волновая функция протяженных систем (см. третий
том [13], §4.7). А именно, при вычислении средних значений оператора
наблюдаемых интегрирование по пространству классических параметров не
производится. ?
Чтобы более четко выделить эффект фазы Берри, упростим рассматриваемую
квантовую системус параметрами. Предположим, что все С*-алгебры А", <т ?
Е, изоморфны одной и той же алгебре фон Неймана В(Е) ограниченных
операторов в некотором гильбертовом пространстве Е, и рассмотрим локально
тривиальное расслоение гильбертовых пространств П -* S над многообразием
параметров Е с типичным слоем Е и гладкими функциями перехода. Гладкие
