Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 13

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 75 >> Следующая

Der Сх Э т -* VT 6 Der 5,
который является связностью на S как пучке С^'-модулей, называется
связностью на пучке S колец. ?
Кривизна этой связности дается выражением
*(T,T') = |Vr,Vr.|-V|r,r.,, (1.84)
аналогичным выражению (1.63) для кривизны связности на модулях.
Глава 2
Связности в квантовой механике
В третьем томе [13] были описаны некоторые квантовомеханические системы,
в которых применялись обычные связности на расслоениях. Эта глава
посвящена алгебраическим связностям в квантовой механике, которые
описывают эволюцию квантовых систем.
§ 1. Эволюция квантовых систем
Во втором томе [12], § 3.2, было показано, что решения уравнений
Гамильтона неавтономной классической механики являются интегральными
сечениями гамильтоновой связности, т. е. эволюция в классической
гамильтоновой механике описывается как параллельный перенос по времени.
Такое описание эволюции можно распространить и на квантовую механику [22,
91, 113, 127|.
Следует подчеркнуть, что в квантовой механике время играет роль
классического параметра. Действительно, все коммутационные соотношения
между операторами в квантовой механике являются одновременными, а
вычисление средних значений операторов наблюдаемых не предполагает
интегрирования по времени. Таким образом, в каждый момент времени мы
имеем определенную квантовую систему, и для разных моментов времени эти
квантовые системы различны, хотя, возможно, и изоморфны друг другу.
Напомним (см. третий том [13|, а также [2, 5, 15]), что в рамках
алгебраической квантовой теории квантовая система характеризуется
некоторой С*-алгеброй наблюдаемых А и положительной (следовательно
непрерывной) формой ф на А, которая определяет представление жф алгебры А
в гильбертовом пространстве Еф с тотализиру-юшим вектором ^ такое, что
Ф{а) = (жф(а)?ф\?ф), V а € А.
Говорят, что ф(а) - среднее значение оператора а в состоянии ?ф.
Таким образом, чтобы описать эволюцию квантовомеханической системы,
каждой точке оси времени t 6 М следует сопоставить некоторую С*-адгебру
At, трактуя ее как адгебру наблюдаемых квантовой системы в момент времени
?. В результате мы имеем дело с семейством одновременных С*-алгебр At,
параметризуемым осью времени М. Предположим для простоты, что все С*-
алгебры At изоморфны друг другу и некоторой С*-алгебре А с единицей.
Более того, пусть они образуют локально тривиальное гладкое банахово
расслоение Р -> К с типичным слоем А, функциями перехода которого
являются автоморфизмы С*-алгебры А. Гладкие сечения а расслоения С*-
алгебр P-"R составляют инволютивную алгебру относительно поточечных
операций. Это также бимодуль Р(Ж) над кольцом С00(К) гладких вещественных
функций на М.
В соответствии с Определением 1.2.8, обобщаемом на некоммутативные
алгебры, связность V на С"Х'(К)-алгебре .Р(М) ставит в соответствие
стандартному векторному полю dt на К дифференцирование этой алгебры
Vt€ Der (Р(Щ),
(2.1)
§ 1. Эволюция квантовых систем
25
которое удовлетворяет правилу Лейбница
Ъ(/а) = dtfa + fVta, а ? P(R), / € C°°(R).
Очевидно, что расслоение Р -> R является тривиальным, хотя оно может
не иметь
какую-либо каноническую тривиализацию. Если его тривиализация Р = М х А
задана, дифференцирование V< (2.1) принимает вид
V,(a) = [ft-*(*)!("), (2.2)
где операторы 6(t), рассматриваемые в каждой точке t ? М, представляют
собой дифференцирования С*-алгебры А такие, что
6t(ab) = 6t(a)b + a6t(b), 6t(a*) = 6t(a)*.
Как обычно, сечение a(t) расслоения Р -* М, т. е. элемент модуля Р(R),
называется
интегральным сечением связности (2.2), если
V,(a) = [dt - <5")](a) = 0. (2.3)
Тогда уравнение (2.3) - это уравнение Гейзенберга, описывающее квантовую
эволюцию. Интегральное сечение a(t) связности V является решением этого
уравнения, и можно сказать, что a(t) - геодезическая кривая в алгебре А.
В частности, пусть операторы дифференцирования <5(<) = 6 одни
и те же
для всех t ? М. Если <5 - генератор 1-параметрической группы дг
автоморфизмов
С*-алгебры А (см. третий том [13], §3.2), тогда для любого элемента a ? А
кривая
a(<) = gt(a), t ? К, (2.4)
в А является решением уравнения Гейзенберга (2.3).
Существуют определенные условия для того, чтобы дифференцирование С"*-
алгеб-
ры с единицей определяло 1-параметрическую группу ее
автоморфизмов [43, 130].
В частности, напомним Предложение 3.2.4 из третьего тома [13].
Предложение 2.1.1. Если дифференцирование 6 является ограниченным
оператором в С*-алгебре А, тогда 6 - генератор 1-параметрической группы
дт = ехр {г<5}, г ? М,
автоморфизмов А, и обратно. Эта группа непрерывна в равномерной
операторной топологии на группе автоморфизмов Aut(.4) С*-алгебры А. Более
того, для всякого представления 7г алгебры А в гильбертовом пространстве
Е* существует самосопряженный ограниченный оператор Н в Е" такой, что
тг(<5(а)) = i[H, тг(а)[, (2.5)
я(9г(а)) = e,rW7r(a)e-,rW,
для всех а ? i и г 6 R. ?
Отметим, что, если область определения D(6) дифференцирования <5 С*-
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed