Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Яц: а(r) р mod /з2 -* ар. (1-16)
?
Теорема 1.1.5. Для всякого дифференциального оператора А (Е DifT^P, Q)
существует единственный гомоморфизм
ГЛ: J'(P) -* Q
такой, что коммутативна диаграмма
Р - JS(P) л\/,*
я
?
Доказательство. Доказательство основано на следующем факте [4]. Пусть h ?
Нот ,4.4 (r)Р, Q) и
а: РЭр*->а(r)реА(r)Р,
тогда
6b(h о а)(р) = h(6b(a (r) р)).
?
Соответствие А ь-> {Л задает изоморфизм
Hom^(j'(P),C?) = Difr,(P,<?), (1.17)
который означает, что всякий (линейный) Q-значный дифференциальный
оператор порядка s на .4-модуле Р представим в виде гомоморфизма модуля
струй J"(P) в Q. Напомним, что в общем случае нелинейных дифференциальных
операторов подобного рода гомоморфизм является определением
дифференциального оператора (см. первый том [II], Определение 1.5.5).
Рассмотрим теперь специальный случай модулей струй J$(A) самой алгебры А,
обозначив их Jг ради простоты. Модуль J' может быть наделен структурой
коммутативной алгебры с законом умножения
(.аУЪ) ¦ (а'ГЬ) = аа'Г(ЬЬ').
В частности, алгебра J] состоит из элементов а (r) b по модулю соотношений
а(r)6 + Ь(r)а = а6(r)1 + 1(r)а6. (1-18)
Она имеет структуру левого .4-модуля
с((а (r) Ь) mod /з2) = (са) (r) 6 mod /з2 (1-19)
(1.12) и структуру *-левого .4-модуля
с* ((а (r) 6) mod /з2) = а (r) (cb) mod fi2 (1-20)
(1.13), которая совпадает со структурой, индуцируемой структурой правого
.4-модуля на А (см. Замечание 1.1.3). Имеют место канонический
мономорфизм левых .4-модулей
i\:A-*j\ *i: о •-+а(r) 1 mod/i2, (1.21)
§ 1. Дифференциальное исчисление на модулях
9
и соответствующая проекция
J1 -> J]/ lm г'| = (Ker/i')mod ft2 = П1, (1.22)
a (r) b mod ft2 ->(a (r) b - ab (r) 1) mod ft2.
Фактор-модуль ft1 (1.22) образован элементами
(a (r) b - ab (r) 1) mod ft2, V a, b € A.
Он наделен структурой центрального .4-бимодуля
c((a (r) b - ab (r) 1) mod ft2) = (ca (r) ?> - cab (r) 1) mod /i2, (1-23)
((1 (r) ab - b (r) a) mod д2)с = (1 (r) abc - b (r) ac) mod ft,2 (1.24)
и структурой *-левого .4-модуля
с* ((а (r) Ь - ab (r) 1) mod ft2) = (а (r) cb - acb (r) 1) mod д2. (1-25)
Нетрудно убедиться, что проекция (1.22) является морфизмом как левых, так
и *-левых модулей. Тогда мы получаем морфизм *-левых модулей
d': A (1.26)
d1: b i-> 1 (r) b mod ft2 (1 (r) b - Ь(r) 1) mod ft2,
такой, что центральный .4-бимодуль П1 порождается элементами d'(b), b €
А, согласно равенству
ad'b = (a (r) b - ab (r) 1) mod ft2 = (1 (r) ab) - b (r) a) mod ft2 = (d'b)a.
(1.27)
Предложение 1.1.6. Морфизм d1 (1.26) является дифференцированием алгебры
А со значениями в модуле П1, рассматриваемом как левый .4-модуль и
центральный .4-бимодуль. ?
Доказательство. Используя соотношение (1.18), получаем в явном виде d\ba)
= (1 (r) ba - Ьа (r) 1) mod ft2 =
= (Ь(r)а + а (r) b - Ьа (r) 1 - ab (r) 1) mod ft2 = bd'a + ad'b. (1-28) Это П'-
значный дифференциальный оператор первого порядка. В то же время d'(ba) =
(1 (r) ba - ba (r) 1 + Ь(r)а-Ь(r)а) mod fi2 = (d'b)a + bd[ а.
?
При помощи дифференцирования d1 (1.26) мы получаем расщепление левых и *-
левых .4-модулей
(1.29)
aj\cb) = ait(cb) + ad'(cb). (1-30)
Соответственно имеет место точная последовательность
0-П1 -J1 -Л-0, (1.31)
которая расщепляется мономорфизмом (1.21).
Предложение 1.1.7. Существует изоморфизм
(1.32)
10
Глава 1. Алгебраические связности
где J[ te'P - тензорное произведение правого (и *-левого) Л-модудя J'
(1.20) и левого Л-модуля Р, т. е.
[а (r) 6 mod р2] 0 р = [а 0 1 mod /t2] 0 6р.
?
Доказательство. Изоморфизм (1.32) реализуется сопоставлением
(а (r) bp) mod р2 <-> [а 0 6 mod р2] 0 р. (1.33)
?
Изоморфизм (1.29) приводит к изоморфизму "7'(Р) = (Л(r)П')(r)Р,
(а (r) 6р) mod р2 <-> [(аб + ad'(6)) mod р2} 0 р,
и к расщеплению левых и *-левых Л-модулей
J,|(P) = M(r)P)0($2I(r)P). (1.34)
Применяя проекцию я-,' (1.16) к расщеплению (1.34), мы получаем точную
последовательность левых и *-лсвых Л-модулей
О -> Q1 0 Р -> j'(P) Р -> 0, (1.35)
О -> [(а 0 6 ~ аб(r) 1) mod р2] 0р ->[(с(r) 1 + а (r) 6 - аб0 1) modр2] (r) р =
= (с (r) р + а (r) 6р - аб (r) р) mod р2 -> ср,
аналогичную точной последовательности (1.31). Точная последовательность
(1.35) допускает каноническое растепление посредством морфизма *-левых Л-
модулей
Р Э ар н-t a 0 р + d1 (a) 0 p.
Однако она необязательно должна расщепляться каким-либо морфизмом левых
Л-модулей. Такое расщепление, если оно существует, интерпретируется как
связность на модуле Р (см. § 1.2). В частности, каноническое расщепление
(1.21) точной последовательности (1.31) представляет собой каноническую
связность на алгебре Л.
В случае модуля струй J3 алгебры Л изоморфизм (1.17) принимает вид
Horn a(J\ Q) = 1ЖДЛ,д). (1.36)
Тогда Теорема 1.1.5 и Предложение 1.1.6 приводят к изоморфизму
Ноти(Н',<?)= DerM,<?). (1.37)
Это означает, что, поскольку d'(l) = 0, всякое Q-значпос
дифференцирование алгебры Л представимо в виде композиции hod1, где h f.
Hom^(f2',Q).
Пример 1.1.5. Если Q = Л, изоморфизм (1.37) сводится к условию дуальности
