Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 17

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 75 >> Следующая

расслоения P/U(n) -> Z в точности совпадает с классифицирующим
пространством D(U(u)) для главных расслоений со структурной группой U(n)
(см. первый том 1111, § 3.5). Более того, можно рассмотреть параллельный
перенос в главном расслоении Р -> P/U(n) вдоль кривой в P/U(n). В этом
случае вектор состояния fit) приобретает геометрический фазовый множитель
в дополнении к динамическому фазовому множителю. В частности, если Е = R
(т. е. классические параметры отсутствуют и фаза Берри имеет только
геометрическое происхождение), мы приходим к случаю связности Берри на
главном U(n)-расслоении над классифицирующим пространством B(U(n)) |38|.
Пели п = I, это вариант геометрической фазы Берри, описанный в работе
|20|.
Глава 3
Суперсвязности
Элементы супергсометрии встречаются во многих квантовополевых моделях.
Поэтому мы начнем описание связностей в квантовой теории поля с
градуированных связностей и суперспязностей. Они представляют собой
связности на градуированных модулях и пучках над градуированными
коммутативными алгебрами. Мы неоднократно будем ссылаться на свойства
модулей и пучков из Главы 1, обобщенные на случай градуированных алгебр
[851.
Предполагается, что читатель знаком с основами теории суперсимметрий и
супермногообразий 11, 30, 50, 58] (см. также первый том [111, §4.3). Тем
не менее § 3.1 посвящен необходимым элементам тензорного анализа на
градуированных пространствах.
Ради упрощения мы опускаем категорные аспекты приводимых ниже
конструкций, которые играют существенную роль в теории супермногообразий,
но не столь важны для приложений.
§ 1. Алгебра градуированных пространств
В этой Главе, если специально не оговорено, под градуированной структурой
понимается именно йг-градуированная структура. Степень относительно йг-
градуировки будет обозначаться [,|, в отличие от |.| для обозначения
степени относительно Z-градуировки дифференциальных форм.
Градуированным коммутативным кольцом 1C называется кольцо, которое имеет
две аддитивные подгруппы Ко и /С|, называемые четной и нечетной частями
/С и такие, что
/С - /С о 0 /С |,
UffO/g - ( 1) dgdr ? ^CriSi O'Г ? ICr 1 Ug ? tCs, 5,7* - 0, 1.
Например, обычное коммутативное кольцо является частным случаем
градуированного коммутативного кольца, у которого К\ = 0. В дальнейшем
под градуированным кольцом будет пониматься именно коммутативное
градуированное кольцо
Градуированным 1C -модулем Q называется /С-бимодуль, который содержит две
аддитивные подгруппы Qq и Q\ такие, что
Q = Qo (c) QI
и KrQs С Qr+s- Если специально не оговорено, градуированный модуль
считается центральным, т. е.
a9 = (-l)HI"l9a, qCQ, а С К.
Градуированный /С-модуль называется свободным, если он порождается
однородными элементами, т.е. элементами, которые принадлежат только или
Q0, или Q,. Всякий 1C-градуированный модуль является очевидно К,п-
модулем. Говорят, что базис градуированного модуля Q конечного порядка
принадлежит типу (п,тп), если он состоит из п четных и m нечетных
элементов.
§ 1. Алгебра градуированных пространств
33
В частности, градуированным векторным пространством В - В" (c) В|
называется градуированный Е-модуль. Говорят, что градуированное векторное
пространство имеет размерность (п, т), если dim Ва = п и dim В| = т.
Градуированная коммутативная КС-алгебра А с единицей - это градуированное
кольцо, которое является также градуированным модулем над градуированным
кольцом /С. Градуированное тензорное произведение А\СдА2 градуированных
AC-алгебр А| и А2 определяется как тензорное произведение /С-модулей А\ и
А2, снабженное операцией умножения
(а| (r) а2) • (а, (r) а2) = (-^"^"^(aia, (r) а2а2).
Как и в случае градуированных колец, в дальнейшем под градуированной /С-
алгеброй будет подразумеваться именно градуированная коммутативная АС -
алгебра с единицей. Градуированная Е-алгебра будет называться просто
градуированной алгеброй. Говорят, что она имеет ранг т, если это
свободная градуированная алгебра, порождаемая т нечетными элементами.
Банахова градуированная алгебра - это градуированная алгебра, которая
является банаховой алгеброй такой, что выполняется условие
Н°о + а\II = IMI + Ik II-Пусть V - вещественное векторное пространство.
Рассмотрим алгебру
к
Л = лГ = Е0ДГ (3.1)
Г=!
относительно операции внешнего произведения. Она называется внешней
алгеброй векторного пространства V. Это Z-градуированная коммутативная
алгебра, наДеленная Z j-градуирован ной структурой
Ло = Е0ДУ, A, = 02XV.
*=i *=i
Она представляет собой пример алгебры Грассмана. Более того, в
дальнейшем, если специально не оговорено, под алгеброй Грассмана будет
подразумеваться именно конечно порожденная вещественная (или комплексная)
внешняя алгебра (см. ниже Замечание 3.1.1). Если дан базис {c\i G /}
векторного пространства V, элементы алгебры Грассмана принимают вид
а = ai< -hc" (3-2)
<¦•=() (i,...u)
где первая сумма берется по всем наборам (г, ... г*) индексов с точностью
до перестановок. Ради простоты мы не будем писать символ Л внешнего
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed