Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4" -> 8

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 — М.: УРСС, 2000. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaikvantoviepolya2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 75 >> Следующая

структурных модулей, произвольная точная последовательность модулей,
вообще говоря,
не расщепляется. Поэтому связность на модуле необязательно существует.
Морфизм (1.47) естественным образом может быть расширен до морфизма
V: П1
Легко убедиться, что в случае структурного модуля Р = Y(X) векторного
расслоения Y -> X морфизм
R = V2:P-+n2(r)P (1.58)
задаст кривизну линейной связности на У (см. первый том [II], формулы
(1.71), (1.72)). Эго приводит к следующему определению кривизны
алгебраической связности.
Определение 1.2.5. Морфизм R (1.58) называется кривизной связности V на
модуле Р. ?
В случае, когда А = Сх(Х) и S - локально свободный Сх(Х)-модуль конечного
ранга, имеют место изоморфизмы
П'(Х) = HomCMX)(Der(Cx(X)),Cx(X)), (1.59)
HomCxW(Dcr(Cx(X)),S) = П'(Х)">5.
Поэтому могут быть даны другие эквивалентные определения связности на
Сх(Х)-мо-дулях.
Определение 1.2.6. Всякий морфизм
V: S-* HomCxm(Der(Cx(X)),S), (1.60)
удовлетворяющий правилу Лейбница (1.48), называется связностью на Сх(Х)-
модуле S. ?
Определение 1.2.7. Связностью на Сх(Х)-модуле S является морфизм Сх(Х)-
модулей
Der (Сх(Х)) Эт"Уг? DitTr(5,5) (1.61)
такой, что для любого векторного поля т на многообразии X
дифференциальный оператор первого порядка VT удовлетворяет условию
VT(fs) = (r jdf)s + fVrs. (1.62)
?
Кривизна связности (1.61) определяется как дифференциальный оператор
нулевого порядка
fi(T,r') = [Vr,Vr.l-V|Ti1.., (1.63)
на модуле S для произвольной пары векторных полей т, т' G Der(Cx(X)) на
многообразии X. В случае структурного модуля векторного расслоения над
многообразием X это определение эквивалентно обычному определению
кривизны линейной связности на этом расслоении.
Если S - коммутативное Сх(Х)-кольцо. Определение 1.2.7 может быть
видоизменено следующим образом.
Определение 1.2.8. Связность на Сх(Х)-кольце S - это морфизм левых С00^)-
модулей
Der(C°°(Jr))9TH- Vre DerS, (1.64)
который является связностью на S как С°°(JT)-модуле, т. е. удовлетворяет
правилу Лейбница (1.62). ?
16
Г лава 1. Алгебраические связности
Определение 1.2.8 предполагает дополнительно, что связность VT является
дифференцированием кольца S, чтобы сохранить его алгебраическую
структуру. Две такие связности VT и V'T отличаются друг от друга
дифференцированием кольца 5, ядро которого содержит подкольцо С1Х(Х) С S.
Кривизна связности (1.64) на кольце дается формулой (1.63).
§3. Связности на пучках
Хотя основные понятия теории пучков уже были приведены в первом томе [11]
(см. Приложение В), мы повторим их здесь в нужном нам контексте.
Существует несколько эквивазентных определений пучка [3, 14, 147J. Начнем
с его геометрического определения. Пучком на топологическом пространстве
X называется топологическое расслоение 5 -> X, слои которого Sx, именуемы
с стеблями, являются абелевыми группами, наделенными дискретной
топологией.
Првдпучок считается заданным на топологическом пространстве X, если
каждому открытому подмножеству U С X сопоставлена абелева группа 5(/ (в
частности, 50 = 0), а каждой паре открытых подмножеств V С U
соответствует гомоморфизм ограничения
ту: So -" 5у
такой, что
гц = Id Sv, rw=rwrv, WCVCU.
Всякий предпучок {Su, rly} на топологическом пространстве X порождает
пучок на X, стеблем Sx которого над точкой х (Е X является прямой предел
абелевых групп 5(7, х е U, относительно гомоморфизмов ограничения Гу (см.
понятие прямого предела в [7, 9], а также в §3.1). Здесь под прямым
пределом понимается конструкция, когда для каждой открытой окрестности U
точки х а X всякий элемент абелевой группы s ? S(j определяет элемент
стебля sx € Sx, называемый ростком s в х. Причем два элемента s Е Su и s'
Е Sy задают один и тот же росток в х тогда и только тогда, когда
существует открытая окрестность W D U П V Э х точки х такая, что
U Vi
Ту/$ - rws .
Пример 1.3.1. Пусть X - топологическое пространство и С°({7) - аддитивные
абелевы группы непрерывных вещественных функций на открытых подмножествах
U С X вместе с естественными гомоморфизмами ограничения
Гу: C°(U) -> C[\V)
этих функций на V С U. Тогда {C°(U), Гу} - предпучок на X. Две
непрерывные вещественные функции s и s' на X задают один и тот же росток
sx в точке х е X, если они совпадают на некоторой открытой окрестности х.
Пучок С^, порождаемый предпучком {Сн(?7), Гу }, называется пучком
непрерывных функций на топологическом пространстве X. Пучок Сх гладких
функций на дифференцируемом многообразии X определяется аналогично.
Упомянем также предпучок постоянных вещественных функций на открытых
подмножествах топологического пространства X. Он определяет так
называемый постоянный пучок на X, который обозначается просто К. ?
Два различных предпучка могут порождать один и тот же пучок. Обратно,
всякий пучок 5 определяет предпучок абелевых групп 5(17) его локальных
сечений на открытых подмножествах U С X. Он называется каноническим
предпучком пучка 5. Нетрудно показать, что пучок, порождаемый
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed