Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
каноническим предпучком {5(17),Гу} пучка S,
§ 3. Связности на пучках
17
в точности совпадает с S. Поэтому мы обычно будем отождествлять пучок и
его канонический предпучок. Отметим, что, если пучок 5 порождается
предпучком {5ц,Ту}, существует естественный гомоморфизм предпучков {5у} -
>• {S(U)}, который, однако, не является ни мономорфизмом, ни
эпиморфизмом.
Прямая сумма, тензорное произведение и гомоморфизмы пучков определяются
естественным образом как послойные операции над абелевыми группами.
-Пусть 5 и S' - пучки над одним и тем же топологическим пространством X и
Нот (5|г/, S'l/y) - абелевы группы гомоморфизмов пучков 5|у -> 5'|{/ для
всевозможных открытых подмножеств U С X. Эти группы задают пучок Нот (S,
S1) на X. Следует подчеркнуть, что
Нот (S, S')(U) ф Нот (S(U), S'(U)). (1.65)
Как мы увидим ниже, эго неравенство имеет важные последствия.
Пусть ip: X -> X1 - непрерывное отображение топологических пространств и
5 - пучок на X. Образ <ptS на X1 пучка S - это пучок, задаваемый
сопоставлением
X1 DU ~ S(<p~'(U))
для всякого открытого подмножества U С X1 (с учетом того, что p~\U) -
всегда открытое подмножество X). Пусть теперь S' - пучок на X'. Чтобы
определить прообраз р* S' на X пучка S', мы сопоставим всякому открытому
множеству V С X предел абелевых групп S'(U) по всем открытым
подмножествам U С X' таким, что V С tp~'(U), относительно вложений
(напомним, что множество ip(V), вообще говоря, не является открытым в
X'). В частности, если S' = С?i - пучок гладких вещественных функций на
многообразии X' из Примера 1.3.1, его прообраз р*С'х, на многообразии X
является пучком индуцированных функций на X.
Замечание 1.3.2. Понятие пучка обобщается на пучки коммутативных колец и
алгебр, модулей над коммутативными алгебрами, а также пучки
градуированных коммутативных алгебр и градуированных модулей над этими
алгебрами [85]. ?
Пусть А - пучок на топологическом пространстве X. Говорят, что пара {X,
А) является пространством локальных колец, если всякий стебель Ах, х € X,
пучка А - это локальное коммутативное кольцо, т. е. оно содержит
единственный максимальный идеал. Понятие пространства локальных колец
эквивалентно геометрическому определению пучка как расслоения на
локальные кольца. Однако мы будем использовать это понятие как
самостоятельное, поскольку оно в явном виде включает пространство X, на
котором задан пучок. В частности, в качестве морфизма пространства
локальных колец (X, Л) ->• (Х',А') рассматривается пара (ip, Ф),
состоящая из непрерывного отображения ip: X -> X' и морфизма пучков Ф: А'
-> р,А на X', где, напомним, р,А - образ пучка А. Морфизм (<р, Ф)
называется:
• мономорфизмом, если ip - инъекция и Ф - сюръекция;
• эпиморфизмом, если р - сюръекция, тогда как Ф - инъекция.
Пучком Der Л дифференцирований пучка локальных колец А называется
подпучок эндоморфизмов пучка А такой, что всякое сечение и € Der.4(i/)
пучка Der Л на открытом подмножестве U с X является дифференцированием
кольца A(U) сечений пучка Л на U. Следует подчеркнуть, что из-за
неравенства (1.65) дифференцирование кольца A(U), вообще говоря, не
является сечением пучка Der.4|c/, поскольку может случиться, что для
открытых множеств U' С U С X не существует морфизма ограничения
Оег(Л({/)) -*¦ Der(A(U')).
Пусть (X, А) - пространство локальных колец. Пучок Р на X называется
пучком A-модулей, если всякий его стебель Рх, х g X, - это Ах-модуль, или
эквивалентно если P(U) - это Л(17)-модуль для любого открытого
подмножества U С X. Говорят,
18
Глава 1. Алгебраические связности
что пучок .4-модулсй Р является локально свободным, если для всякой точки
х ? X существует открытая окрестность U такая, что P(U) является
свободным _4((7)-модулем. Если все эти свободные модули имеют один и тот
же ранг, пучок Р называется пучком локально свободных модулей постоянного
ранга.
Пример 1.3.3. Пучок 6'у гладких функций на многообразии X из Примера
1.3.1 является пучком коммутативных колец. Стебель С'уг ростков этих
функций в точке х ? X - это локальное кольцо, а пара (X, С?) служит
примером пространства локальных колеи. В частности, всякий морфизм
многообразий <р: X -" X' порождает индуцированный морфизм (<р, Ф)
пространств локальных колец (Х,С?) -> (Х',С^,), где
*(C?) =(Ъ°'Р*)(Сх') С<р.(С?). (1.66)
Тем самым, мы приходим к следующему алгебраическому определению
дифференцируемого многообразия [30|.
Предложение 1.3.1. Пусть X - топологическое пространство, {{/<;} -
открытое покрытие X, и S( - пучок на U( для каждого элемента этого
покрытия.
Предположим, что:
• если П Щ ф 0, тогда существует изоморфизм пучков
*^4ItAnt/i -*
• эти изоморфизмы удовлетворяют условию
для произвольной тройки U^, Щ, U,, т.е. они образуют коцикл.
Тогда существуют пучок S на X и изоморфизмы пучков ф^: 5|уч. ->
такие, что
Фс\илщ - Рц 0 Ф(.\икпиг
?
Предложение 1.3.2. Пусть X - паракомпактное топологическое пространство и
(X, А) - пространство локальных колец, которое локально изоморфно
