Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
(R",C?"). Тогда X является п-,мерным дифференцируемым многообразием, и
существует естественный изоморфизм пространств локальных колец (X, Л) и
(X, С'х). ?
Возьмем произведение X х X' двух паракомпактных топологических
пространств и произвольную пару их открытых подмножеств U С X и U' С X'.
Рассмотрим топологическое тензорное произведение колец Сх([/) 0 Сх([/')
(см. Замечание 1.1.8). Такие тензорные произведения определяют пучок
колеи на X х X', который обозначим Сх (r) С'х'. При этом изоморфизмы
(1.43), взятые для всевозможных пар U С X ч U' С X', приводят к
изоморфизму пучков
С%(r)С%, = С%хх'. (1.67)
?
Пример 1.3.4. Пусть Y -> X - векторное расслоение с типичным слоем
размерности тп. Ростки его сечений образуют пучок Sy сечений расслоения К
-> X. Стебель SYx этого пучка над точкой х ? X состоит из ростков сечений
расслоения К -> X в окрестности точки х. Он представляет собой модуль над
кольцом С%х ростков гладких функций на X в точке х ? X. Следовательно SY
является пучком модулей над пучком Сх колец относительно операции
поточечного умножения. Канонический предпучок пучка SY изоморфен
предпучку локальных сечений векторного расслоения Y -+ X. Он называется
структурным пучком векторного расслоения Y -* X. Аналогично
дифференцируемым многообразиям из предыдущего Примера векторное
§ 3. Связности на пучках
19
расслоение задается своим структурным пучком, локально изоморфным пучку
Су'(r) К"'. Эти локальные пучки склеиваются согласно Предложению 1.3.1
заданием коцикла функций перехода, который является элементом множества
когомологий Il\X,GL(m, Е),х) с коэффициентами в пучке GL(m, М)х, гладких
отображений X в Gf,(m,M) (см. первый том 1111, Приложение В). При этом
слой Yx векторного расслоения Y -> X над точкой х 6 X изоморфен фактору
SYx/Mx стебля SYx структурного пучка над х но подмодулю Мх С Syx ростков
сечений F-^I, обращающихся в 0 в точке х.
Аналогично можно определить пучок сечений произвольною расслоения Y -> X.
Он представляет собой пучок множеств, который в общем случае не наделен
какой-либо алгебраической структурой. ?
Перейдем теперь к определению связности на пучках. Пусть (X, Л) -
пространство локальных колец и Р - пучок Л-модулей на X. Для
произвольного открытою подмножества U С X рассмотрим модуль струй j\P(U))
модуля P(U) сечений пучка Р на U. Он состоит из элементов тензорного
произведения модулей A(U) (r) P(U) по модулю поточечных соотношений (1.15).
Следовательно для произвольных открытых подмножеств V С U С X существует
морфизм ограничения j\P(U)) -> j\P(V)) и модули струй j\P(U)) образуют
предпучок. Этот предпучок порождает пучок J1Р струи пучка Р. Аналогично
вводится пучок струй j'А пучка локальных колец А. Поскольку для всякого
открытого подмножества U С X соотношения (1.15) и (1.18) на кольце .4(17)
и модулях P{U), J[(P(U)), Jl(A(U)) являются поточечными, они
перестановочны с морфизмами ограничения. Поэтому существует прямой предел
факторов но модулю этих соотношений [91. В частности, мы получаем: пучок
П'Л 1-форм пучка А, изоморфизм пучков
которые аналогичны соответственно фактор-модулю (1.22), изоморфизму
модулей (1.34) и точным последовательностям модулей (1.35) и (1.49).
Замечание 1.3.5. Следует подчеркнуть, что из-за неравенства (I.65)
соотношение дуальности (I.38) не переносится в общем случае на пучки Der
Л и П'Л, если поеледние не являются локально свободными пучками конечного
ранга. Заметим также, что, если Р - локально свободный пучок конечного
ранга, то таковым является и его пучок струй J]P (см. Пример 1.1.4). ?
Следуя Определениям 1.2.1, 1.2.2 связностей на модулях, мы приходим к
следующему определению связностей на пучках.
Определение 1.3.3. Пусть {Х,А) - пространство локальных колеи и Р - пучок
Л-модулей на топологическом пространстве X. Связностью на пучке Р
называется расщепление точной последовательности (1.68), или эквивалентно
точной последовательности (1.69). ?
Чтобы установить соответствие между связностями на модулях и связностями
на пучках, напомним некоторые факты, касающиеся точных
последовательностей пуч ков.
Поскольку при переходе к прямому пределу свойство точной
последовательности сохраняется |9], точная последовательность предпучков
индуцирует точную последовательность порождаемых этими предпучками пучков
(см. первый том [11], Приложение В). Более того, если точная
последовательность предпучков расщепляется, имеет
j\P) = (леп'л) (r) Р,
а также точные последовательности пучков
О - Sl'A(r)P^j'(P) -"Р^0,
О ->iV.4(r)P - (Л0П'Л)(r)Р^Р^О,
(1.68)
(1.69)
20
Глава 1. Алгебраические связности
место соответствующее расщепление точной последовательности пучков,
порождаемых этими предпучками. Обратное утверждение, однако, не является
столь однозначным. Рассмотрим точную последовательность пучков
0 -> 5* -> 5 -> 5" -> 0 (1.70)
на топологическом пространстве X. Как и в случае векторных расслоений,
пучок S" из этой точной последовательности является фактор-пучком S/S'.
