Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
алгебры А совпадает со всей алгеброй А, оператор дифференцирования
ограничен. Таким образом, по самому своему определению дифференцирования
<5<, t ? К, в связности V* (2.2) предполагаются ограниченными. Отсюда
следует, что, если квантовомеханическая система является консервативной,
т. е. 6t = 6 для всех моментов времени < 6 1, уравнение Гейзенберга (2.3)
имеет решение (2.4) через любую наперед заданную точку произведения М х А
в соответствии с Предложением 2.1.1. Из Предложения 2.1.1 также следует,
что описание эволюции консервативной квантовомеханической системы в
гейзенберговской и шрёдингеровской картинах (основанных соответственно на
уравнениях Гейзенберга и Шрёдингера) эквивалентны.
Проблема возникает в связи с тем, что нетривиальные ограниченные
дифференцирования С*-алгебры не всегда существуют. Более того, если
кривая дт, г ? М, в Aut (Л)
26
Г лава 2. Связности в квантовой механике
непрерывна относительно равномерной операторной топологии па Aut (Л),
тогда для любого элемента а ? А кривая дг(а) в С*-алгебре А также
непрерывна, но обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В то же
время, кривая дг, г € К, в Aut (А) непрерывна относительно сильной
операторной топологии на Aut (А) тогда и только тогда, когда для любого
элемента а ? А кривая дг(а) в А непрерывна.
Поэтому при описании квантовой эволюции нас прежде всего интересуют
сильно непрерывные I-параметрические группы автоморфизмов С*-алгебр. В
третьем томе |13|, §3.2 (см. также (43, 130|), были приведены достаточные
условия для того, чтобы дифференцирование С*-алгебры А было генератором
сильно непрерывной группы автоморфизмов А. Отметим только, что такое
дифференцирование <5 имеет плотную область определения D(6) в А и не
является ограниченным на D(6). F-сли же предположить, что
дифференцирование 6 ограничено на своей области определения D(6), тогда
оно может быть однозначно расширено до ограниченного дифференцирования на
всей алгебре А, а такие дифференцирования, как уже отмечалось, не всегда
существуют. Таким образом, если эволюция квантовомеханической системы
характеризуется сильно непрерывной I-параметрической группой
автоморфизмов алгебры наблюдаемых, следует допустить, что связность V<
(2.2) не определена на всей алгебре P(R) сечений расслоения С*-алгебр Р -
> R. В этом случае приходится иметь дело с обобщенной связностью,
задаваемой операторами параллельного переноса, генераторы которых могут
не существовать [221. Может также случиться, что представление я- алгебры
А в гильбертовом пространстве Е" не допускает представления сильно
непрерывной (-параметрической группы дт автоморфизмов А унитарными
операторами е%тН (2.5) в Еж. Поэтому шрёдингеровская картина, вообще
говоря, не подходит для описания квантовой эволюции, задаваемой сильно
непрерывной I-параметрической группой автоморфизмов алгебры наблюдаемых.
Вернемся снова к неконсервативному уравнению Гейзенберга (2.3).
Потребуем, чтобы во все моменты времени t ? К дифференцирования 6(t) были
генераторами (-параметрических групп автоморфизмов С'-алгебры А. Тогда
оператор параллельного переноса в А относительно связности V* (2.2) на
отрезке [0, <| может быть задан Г-упорядоченной операторной экспонентой
уравнения Гейзенберга (2.3), проходящее через а.
Предположим теперь, что все одновременные С*-алгебры наблюдаемых At
изоморфны алгебре фон Неймана В(Е) ограниченных операторов в некотором
гильбертовом пространстве Е. В этом частном случае квантовая эволюция
может быть описана уравнением Шрёдингера.
Рассмотрим локально тривиальное расслоение гильбертовых пространств П ->
R с типичным слоем Е и гладкими функциями перехода (см. гильбертовы
многообразия в третьем томе [I3|, § I.7). Гладкие сечения расслоения II -
> R образуют бимодуль II(К) над кольцом C(tm)(R) гладких вещественных
функций на R. Согласно Определению (.2.7, связность V на модуле П(Е)
ставит в соответствие стандартному векторному полю dt на оси времени R
дифференциальный оператор первого порядка
(2.6)
и
и для всякого элемента а ? А существует решение
n(t) = Gi(a), t ? R+,
Vt? DiflT|(n(M), П(М)), который удовлетворяет правилу Лейбница
+ fVt-ф, V € n(R), / ? C°°(R).
(2.7)
§ I. Эволюция квантовых систем
27
Выберем некоторую тривиализацию И = Кх Е. Тогда оператор V* (2.7)
принимает вид
где H(t), ? Ж, - ограниченные самосопряженные операторы
в гильбертовом
пространстве Е.
Замечание 2.1.1. Следует отметить, что любой ограниченный самосопряженный
оператор Ti в гильбертовом пространстве Е задает ограниченное внутреннее
дифференцирование
алгебры фон Неймана В(Е). Обратно, всякое ограниченное дифференцирование
алгебры В(Е) является внутренним, т.с. принимает вид (2.9). где Н -
самосопряженный элемент из В(Е). Поэтому операторы 'H(t) в выражении
(2.8) с необходимостью являются ограниченными и самосопряженными. ?
Как обычно, сечение ip(t) расслоения гильбертовых пространств П -* R
называется интегральным сечением связности V( (2.8), если оно
