Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
расслоений струй JkY -> X.
Если многообразие X компактно, известная теорема Серре-Свана (см. ниже
Теорему 7.1.1) устанавливает эквивалентность между категорией проективных
C°°(JT)-модулей конечного ранга и категорией гладких векторных расслоений
над X [6, 144, 151].
§ 2. Связности на модулях
Чтобы ввести связности на левых Д-модулях, рассмотрим точную
последовательность (1.35). В общем случае она не расщепляется.
Определение 1.2.1. Связностью на левом Д-модуле Р называется морфизм
левых Д-модулей
Г: Р-> J'{P), (1.44)
Г (ар) = аГ(р), (1.45)
§ 2. Связности на модулях
13
который расщепляет точную последовательность (1.35). ?
Это расщепление имеет вид
J'p = Г(р) + Vr(p), (1.46)
где отображение
Vr:P-+n'(r)P> (1.47)
Vr (р) = 1 (r) р mod р2 - Г(р),
имеет смысл ковариантного дифференциала на модуле Р. Следуя традиции, мы
будем использовать термины "ковариантный дифференциал" и "связность" на
модулях и пучках как синонимы. Из равенства (1.45) легко следует, что
морфизм V1 (1.47) удовлетворяет правилу Лейбница
Vr(ap) = da(r)p+aVr(p). (1.48)
Таким образом, мы приходим к эквивалентному определению связности на
модуле.
Определение 1.2.2. Связностью на левом Д-модуле Р называется всякий
морфизм V (1.47), который удовлетворяет правилу Лейбница (1.48), т. е. V
- это (П1 (r)Р)-значный дифференциальный оператор первого порядка на Р. ?
Принимая во внимание Определение (1.2.2) и изоморфизм (1.34), удобно
представить точную последовательность (1.35) в виде
0->П'(r).Р-> (Л(r)П')(r).Р->.Р->0. (1.49)
Тогда связность V на левом Д-модуле Р может быть определена как
расщепление этой точной последовательности морфизмом левых Д-модулей.
Покажем теперь, что в случае структурных модулей векторных расслоений
связность на модуле эквивалентна обычной связности на векторном
расслоении.
Предложение 1.2.3. Если У -> X - векторное расслоение, существует
точная
последовател ьность
j'Y->Y->0 (1.50)
векторных расслоений над X, где морфизм е имеет координатный вид
у' О ? = о, у\ое- у\ относительно координат (хА, у', у\) на Т*Х (r) Y. ?
Предложение 1.2.3 доказывается непосредственной проверкой законов
координатных преобразований.
Благодаря каноническому расщеплению вертикального касательного расслоения
VY (см. первый том [И], формулу (1.26)) точная последовательность (1.50)
приводит к точной последовательности
0-^T*X <g)VY J[Y->VY-^ 0 (1.51)
Y
расслоений над Y, где у\ое = у\ относительно координат (хх,у\у\) на Т*Х
g> VY. Нетрудно убедиться, что любое расщепление над Y точной
последовательности (1.51) порождает расщепление точной последовательности
(1.50) и обратно. Поэтому всякая линейная связность Г на векторном
расслоении Y -> X порождает расщепление
Г: VY = У х У -> j'Y, у
J'Y = T(VY)(r)Dr(JlY), (1.52)
14
Глава 1. Алгебраические связности
точной последовательности (1.51), где Dy - ковариантный дифференциал
относительно связности Г (см. первый том [11|, формулу (1.73)), и
обратно. Так как многообразие струй JlY векторного расслоения Y ~ X
является как аффинным подрасслоением тензорного расслоения Т* X (r) TY -*¦
У. так и векторным расслоением над X, ею элементами над х С X являются
векторы
y'ei + dxx 0 (д\ + (/де,),
записанные относительно послойных базисов (еД векторного расслоения
Y -> X
и голономных базисов {д, = е,} вертикального касательного расслоения
VY -> Y.
Тогда соответствующее расщепление точной последовательности (1.50) имеет
вид
iy + Г: y'ej (-> у'е, ф Г,
(/'е,- + dxx (r) (дх + ylxet) - у'е, (r) Г 0 Dr. (1.53)
Точная последовательность пекторных расслоений (1.50) задает точную
последовательность структурных модулей их сечений
0 - f]'(X)(r)F(X) - J'Y(X) -* Y(X) -*0. (1.54)
Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1.2.4. Всякая точная последовательность векторных расслоений над
X
0--> о (1.55)
допускает расщепление, т. е. существует линейный послойный морфизм
Г: Y" -> Y х
такой, что j о Г = Id К и [14, 90|
Y = г(К')(r)Г(Г'').
Заметим, что точность последовательности (1.55) эквивалентна тому, что Y"
= Y/Y' - фактор-расслоение. ?
Можно сказать больше. Всякое расщепление точной последовательности (1.50)
векторных расслоений предполагает расщепление точной последовательности
(1.54) их структурных модулей и обратно. Для данного расщепления (1.53)
точной последовательности (1.50) векторных расслоений посредством
линейной связности Г соответствующее расщепление точной
последовательности (1.54) имеет вид
Y(X) J'Y(X),
s + Jls = s 0 Г os(r)v's,
где V1 - ковариантный дифференциал относительно связности Г (см. первый
том [II], формулу (1.74)). Это морфизм <7х(ТГ)-молулей
V1: Г(Х)-*П'(Х)(r)У(Х), (1.56)
который удовлетворяет правилу Лейбница
Vr(/s) = df(r)s + fVr(s), feC^(X), s€F(X),
и расщепляет точную последовательность
О -* П'(Х) <э У(Х) - (С°°(Х) ф Г2'(Х)) (r) Y(X) -" Y(X) - 0, (1.57)
являющуюся частным случаем точной последовательности (1.49).
§ 2. Связности на модулях
15
Следует подчеркнуть, что, в отличие от случая векторных расслоений и их
