Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
расслоении, является точной формой.
Последнее означает, что характеристический полином, взятый от различных
форм кривизны на данном расслоении, имеет один и тот же когомологический
класс де Рама, который тем самым может служить характеристикой этого
расслоения. Это действительно так, и характеристические классы расслоений
представляются когомологическими классами характеристических полиномов от
форм кривизны на расслоении.
Пусть А - комплексное векторное расслоение над п-мерным многообразием X
со структурной группой GL(k, С) и F - форма кривизны на А. Полной формой
Чженя называется следующий характеристический полином от F:
^F^j = 1 + с,(F) + c2(F) + ... . (3.47)
Составляющие его 2г-формы ct(F) называются формами Чженя и являются
полиномами
степени г от F:
со = 1,
Ci = ^-ТгП,
2тг
с2= - {Tr(F Л F)-TrF aTtF}. (3.48)
Все формы Чженя c^F) замкнуты, и их когомологические классы
отождествляются с
характеристическими классами Чженя расслоения А, будучи образами с,(А) ?
НЪ(Х, Z) при отображении
Н\Х, Z) -" Н*{Х, Е) = Н'(Х).
Пример 3.5.4. Построим полную форму Чженя (3.47) от формы кривизны на
?7(1)-расслоении А" над сферой 52:
c(F) = det I 14-
136
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.5.5. Запишем полную форму Чженя для SU(2)-расслоения над
многообразием X4. Форма кривизны на таком расслоении имеет вид
ZT
F = -~Fa. Тт F = О, 2
где та - матрицы Паули. Тогда
c(F) = det + ~TaFa J = 1 + с, (Я) + с,(Я),
Cl(F) = 0,
Ci(F) = ^-Tr(FAF) = -7^--FaAFa. (3.50)
87Г2 (47Г)2
?
Представление классов Чженя формами Чженя позволяет легко получить
свойства этих классов:
А1) С;(А) = 0, 2г > 7i = dim X;
А2) сДА) = 0, г>к- (3.51)
АЗ) с(А (r) А') = с(А)с(А');
А4) cl(L(r)L') = ci(L) + cl(L'),
где L, L' - линейные (1-мерные) 17(1)-расслоения.
Отметим также, что если /*А - индуцированное отображением / : X -> Y
расслоение, то
с(Г А) = /*с( А),
где
/* : Я*(У, Z) -" Я*(Х, Z)
- порождаемый отображением / гомоморфизм групп когомологий.
Эффективно использовать это свойство и свойство (АЗ) позволяет следующая
теорема.
Теорема 3.5.2. Для всякого главного U(k)-расслоения А над многообразием
X
существует пространство Y и непрерывное отображение / : Y -> X, такие,
что:
а) /*А есть сумма Уитни Н(1)-расслоений;
б) /* : Я*(Х, Z) -> Я*(У, Z) - вложение. ?
Она дает возможность в целом ряде случаев выражать классы Чженя гладких
U(k)~ расслоений через классы Чженя Н(1)-расслоений, или на примере этих
случаев исследовать общие свойства классов Чженя. Это называется
принципом расщепления. Согласно этому принципу
с(А) = c(L\ (r) ... (r) Lk) = c(Li) ¦ ¦ ¦ c(Lk) = (1 + ¦ (1 + ак),
(3.52)
где а{ = с,(Я,) - класс Чженя расслоения Ьг. Из (3.52) находим
П -
§ 5. Характеристические классы расслоений
137
с2 =
(3.53)
Выражение (3.53) идентично выражению (3.46), и это не случайно, поскольку
а{ представляют собой компоненты диагонализованной формы кривизны
на расслоении Lx (r) ... (c) Lk.
Пример 3.5.6. Пусть А* - дуальное к А расслоение. Тогда, согласно
принципу расщепления,
Поскольку переход к операторам и генераторам группы U{\) в дуальном
представлении состоит в операции комплексного сопряжения, т. е. F* = -F,
имеет место соотношение а* = -а,. Откуда легко получить свойство классов
Чженя дуального расслоения
Если база X расслоения А - замкнутое n-мерное многообразие, из форм Чженя
можно составить n-формы и рассмотреть их интегралы по многообразию X.
Значения последних будут зависеть только от когомологических классов форм
Чженя. Тем самым они оказываются характеристическими для данного
расслоения А. Например, для п = 4 имеется два таких числа Чженя
Отметим, что, поскольку классы Чженя являются элементами целочисленных
групп когомологий, числа Чженя оказываются целыми.
Пример 3.5.7. В случае Z7(l)-расслоения А" над S2 из Примера 3.5.4
получаем число Чженя
Оно действительно является характеристическим для расслоения Ап,
поскольку расслоения А" с различными п не эквивалентны между собой и
число п параметризует классы эквивалентности Z7(l)-расслоений над S2.
Показательно, что для тривиального расслоения А0 число Чженя (3.56) равно
нулю. ?
. Для U(к) -расслоений, помимо классов Чженя, могут быть определены и
другие характеристические классы, выражаемые через классы Чженя.
с(А*) = c(L*i) ¦ ¦ ¦ с(Ы) = (1 + а*) ¦ ¦ ¦ (1 + at).
с,(А*) = (-l)'Cl(A).
(3.54)
?
(3.55)
х
х
(3.56)
138
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Характер Чженя ch(A) задается характеристическим полиномом
сМЛ) = Тгехр(-Л)=^-Тг(-^
1
тп\
2п
(3.57)
и обладает свойствами
ch(A (r) А') = ch(A) + ch(A'), ch(A (r) А') = ch(A) • ch(A').
Его выражение через классы Чженя можно установить, используя принцип
расщепления:
ch(A) = ch(L, (r) ... (r) Lk) - ch(L[) + ... + ch(Lfc) = ехр а, + ... + ехр
ак =
2
= k + j2a> + lj2a2' + --- = k+J2ai + 3 fca*l
г i i \ i / i] <*2
= * + c,(A)+-[cf(A)-2c2(A)] + ... .
Класс Тодда U(k)-расслоения следующим образом определяется через классы
