Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
значимыми являются не локальные (в точке) значения потенциала А, а только
калибровочно-инвариантные величины - интегралы от потенциала А по
всевозможным замкнутым контурам, которые в случае стягивания контуров в
точку выражаются через локальные значения напряженности поля.
Поскольку вакуумные калибровочные поля могут существовать только на
топологически нетривиальных многообразиях, в их описании и классификации
должны участвовать глобальные топологические характеристики этих
многообразий.
Пример 3.4.1. Пусть X = Ж3 \ {р = 0} - 3-мерное пространство Ж3 без оси z
(в цилиндрических (р, a.-z) или декартовых координатах). Рассмотрим на
нем электромагнитный потенциал А, аналогичный (3.24) из Примера 3.3.10:
Напряженность этого поля F = dA во всех точках X равна нулю, и поле А
является градиентным
на всякой стягиваемой области пространства X, например, при 0<е<а<27г -
е,но не на всем X. Форма (3.29) является представителем некоторого
ненулевого элемента группы когомологий де Рама Н'(Х) = Ж пространства X.
Элементы этой группы, будучи представленными формами (3.29), отличаются
друг от друга коэффициентами Ф и могут быть параметризованы ими [Ф] С
Н[(Х), так что будет выполняться групповая операция
В классе обобщенных функций поле (3.29) может быть продолжено на все
пространство Ж3. В этом случае при вычислении напряженности поля (3.29) в
точках р = 0 (х = у - 0) следует придерживаться особых правил
дифференцирования функций, имеющих полюс. Они таковы, что выполняется
формула Стокса
(3.30)
[Ф] + [Ф'] = [Ф + Ф'].
(3.31)
где S - круг в плоскости z = Ос центром в точке р - 0. Откуда находим
Ф 2
F = Ф6(х)6(у) dx Л dy = - 6(р )dp Л da,
(3.32)
т..е. вдоль оси z имеется ненулевое магнитное поле Н,, поток которого
(3.31) равен Ф. Подобные сосредоточенные магнитные потоки называются
флаксонами. ?
§4. Эффект Ааронова-Бома
123
Поле (3.29) из Примера 3.4.1 может быть создано бесконечно длинным и
бесконечно тонким соленоидом, магнитный поток внутри которого равен Ф.
Эффекты Ааронова- Бома в большинстве работ рассчитываются именно для
этого поля, хотя оно - недостижимая идеализация. Идеализацией является
как раз бесконечная длина соленоида. Поле А бесконечно длинного соленоида
конечного радиуса Ъ в области р > Ь совпадает с вакуумным полем (3.29), а
будучи продолженным на все пространство К3, имеет вид
1 -в(р-Ь) f , . , Ф
АЛР) =------------- / Н{р)р dp dot + -- 9{р
р J 2пр
Ъ),
(3.33)
где
ступенчатая функция,
0(х)
х > О х < О
Нр = О,
Яг = Н(рЩЪ - р), на
(3.34)
- поле внутри соленоида, а
ъ
Ф = 2тг J H(p)dp
О
- его поток. Поле (3.33) порождается током
jp=jz = о, ja(p) =
1
47Г
dH
dp
(1 - в(р - b)) + H(b)6(p - b)
Можно показать, что любой ток вида
j = (0, ja(p), 0),
сосредоточенный в некоторой цилиндрической области R х U, вне этой
области порождает вакуумное электромагнитное поле.
Другим примером возникновения вакуумного электромагнитного поля является
ситуация, когда в нестягиваемой области реализуется вакуумное решение
какой-либо квантовой или полевой модели, например, Гинзбурга-Ландау или
Нильсена-Олесена.
Пример 3.4.2. Пусть в пространстве Е3 в области р > Ъ реализуется решение
тф\
tp(ot) = а ехр ( 1 ,
Ф
2л р'
А" = Az = 0
(3.35)
вакуумных уравнений (3.12). Поскольку волновая функция <р(а) должна быть
однозначной (т. е. <р(а) = <р(а + 2л)), амплитуда Ф поля А в
самосогласованном решении (3.35), в отличие от поля в примере 3.4.1-, не
произвольна, а принимает дискретные значения
Ф = 2лпе, п е Z.
?
124
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Решения вида (3.35) реализуются в кольцевом сверхпроводнике и приводят к
тому, что магнитный поток
2тг
J Aa(p)pda = 2тгпе
о
через отверстие кольца принимает только дискретный набор значений. Это
известный в физике сверхпроводников эффект квантования магнитного потока.
Рассмотрим теперь общее математическое условие существования вакуумных
калибровочных полей. Оно сводится к утверждению, что множество классов
калибровочно эквивалентных вакуумных калибровочных полей группы G на
связном паракомпактном многообразии X находится во взаимно однозначном
соответствии с множеством классов сопряженных в G гомоморфизмов
фундаментальной группы ж^(Х) многообразия X в группу G (напомним, что
элементы а к а' группы называются сопряженными в G, если существует такой
элемент д Е G, что да = а'д). Поясним, как возникает это соответствие.
Пусть А - расслоение над связной паракомпактной базой X со структурной
группой G, наделенное связностью А. Выберем некоторую точку х Е X и
рассмотрим параллельные переносы слоя 7г_|(ж) вдоль всевозможных
замкнутых путей 7, начинающихся и заканчивающихся в точке х (пути должны
быть кусочно гладкими, и это вносит немало сложностей, на которых мы не
будем останавливаться). Каждому такому переносу будет соответствовать
некоторый изоморфизм д., слоя тг-1(ж) на себя. Множество Гх замкнутых
путей 7 наделено структурой группы, и, как это следует из свойств
