Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Чженя, используя принцип расщепления:
td(A) = ^r
1
1
, .¦ - 1 + Г С| + - (с, + с2) + . . . .
ехр(-а;) 2 12
(3.58)
Он обладает свойством
td(A (c) А') = td А • td А'.
Классы Понтрягина
Перейдем теперь к характеристическим классам вещественного А;-мерного
векторного расслоения А, имеющего структурную группу О(к).
Опишем классы Понтрягина такого расслоения когомологическими классами
компонент характеристического полинома
p(F) = det ( 1 - ^-F ) = 1 + р, + p2 + ...
(3.59)
от формы кривизны F на А, принимающей значения в алгебре Ли О(к).
Поскольку в представлении на генераторы О (к) таковы, что
(1)\ = -(1)ьа,
в разложении (3.59) отличны от нуля компоненты только четной по F
степени, и, таким образом, pj 6 Н^ЦХ). Классы Понтрягина обладают
следующими свойствами:
Б1)р;(А) = 0, 4г > n = dimX; Б2)р;(А) = 0, 2г > к;
БЗ)р(А (r) А') = р(\) + р(Х').
(3.60)
Отметим, что,, в отличие от комплексного случая, хотя характеристические
классы расслоений со структурными группами 0(к) и GL(k, К) совпадают
(GL(k, R) всегда
§ 5. Характеристические классы расслоений
139
редуцирована к О(к)), характеристические формы для них, вообще говоря,
различны.
Например, если F - форма кривизны, принимающая значения в алгебре Ли
gl(k, К), то в разложении (3.57) могут возникнуть компоненты нечетной
степени по F. Поэтому во избежание недоразумений характеристические
формы, отвечающие классам Понтрягина, следует строить только из О(к)- или
О (к - q, д)-значных форм кривизны.
Пример 3.5.8. Рассмотрим касательное расслоение над многообразием X4. Для
него имеется единственный класс Понтрягина р, ? Н4(Х), характеристическая
форма для которого может быть построена из формы кривизны F некоторой
римановой метрики на X:
Pi = ~ А ТгП A F = (Н)\ А (F)\.
07Г 8тг2
?
Аксиоматически классы Понтрягина 0(А;)-расслоений могут быть введены
через классы Чженя С/(/г)-расслоений. Для этого воспользуемся следующими
коммутативными диаграммами вложений:
U(к) ---------- 0(2к)
(3.61)
GL(k, С) ------------ GL(2к, М)
0(к) -------------------- U (к)
(3.62)
GLik, R) ------------ GL(k, С)
В диаграмме (3.61) горизонтальные стрелки обозначают вложения,
получающиеся, если линейное преобразование пространства Cfc с
комплексными координатами z\ ..., zk представить как линейное
преобразование вещественного пространства R2& с координатами х\ ..., хгк,
положив
I г , • к + г
Z = X +1Х
В диаграмме (3.62) горизонтальные стрелки обозначают вложения,
получающиеся, если матрицы с вещественными коэффициентами рассматривать
как частный случай матриц с комплексными коэффициентами.
Диаграмма (3.62) определяет вложение
<р : S(X, 0(к)) -" S(X, U(к)), и для 0(к) -расслоений над X положим
р,(А) = (-1)'ск(ф(А)), р(А) = Х^Р*(А)- (3-63)
t •
Элементы р{(Л) ? Н4,(Х, Z) называются г-ми классами Понтрягина, а р(А) -
полным классом Понтрягина расслоения А. Их образами в когомологиях де
Рама Н*(Х) являются
140
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
классы Понтрягина, определяемые через характеристический полином (3.59).
Заметим, однако, что для классов Понтрягина (3.63) свойство (Б2) верно по
модулю элементов порядка 2 в Н*(Х, Z).
Диаграмма (3.61) определяет вложение
р : S(X, U(k)) -* S(X, 0(2к)),
а композиция рр - цепочку вложений
S(X, U(k)) - S(X, 0(2*;)) - S(X, U(2k)).
Таким образом, если А есть U(k)-расслоение над X, то р(А) есть 0(2*г)-
расслоение над X, a ip(p(А)) - это U(2k)-расслоение над X. При этом
элемент А 6 U(k) в комплексных координатах z* пространства Ск вложениями
U (к) - 0(2к) - U(2k)
переводится в элементы
, Re А - Im А \ f А О
А 1 lm A Re A } ~* { О А*
в вещественных координатах
х' = R ez', = Imz'
пространства M2t и в комплексных координатах
г г . к + г k + i г • А: + г
z = х + гх , z = х - гх
пространства С21с.
Поскольку элемент А унитарен, матрица А* совпадает с транспонированной
обратной матрицей. Следовательно, расслоение (рр(А) является суммой Уитни
расслоения А и дуального расслоения А*, и согласно свойству (АЗ) имеем
с(<рр( А)) = с(А)с(А*).
Отсюда, используя (3.63) и (3.54), получаем соотношение
^(~1)>;(р(А)) = с(<рр(А)) = с(А)с(А*) = ^ С;(А) ^(-l/сДА)
(3.64)
между классами Чженя U(к)-расслоения А и классами Понтрягина 0(2к)-
расслоения р(А). Используем это соотношение в следующей конструкции.
Классами Понтрягина Pi(X) вещественного многообразия X называются классы
Понтрягина касательного расслоения ТХ.
Пусть многообразие X ориентировано и dim X = 2т. Пусть структурная группа
GL(2m, М) касательного расслоения ТХ допускает редукцию к образу вложения
GL(m, С) в GL(2m, Ж), т. е. расслоение ТХ имеет структуру некоторого
GL(m, Q-расслоения (почти комплексную структуру), т. е. ассоциировано
снекоторым GL(m, С)-расслоением. Тогда классами Чженя такого
вещественного многообразия ХЪп называются классы Чженя расслоения ТХ как
GL(m, С)-расслоения, т. е.
Ci(X) = сЛр(Т(Х))).
§5. Характеристические классы расслоений
141
Отсюда, используя соотношение (3.64), определяем связь между классами
