Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
определяющих "направление" вектора напряженности ^""(по индексу а = 1, 2,
3) в изотопическом пространстве в каждом из максимумов. Итого получили
8\q\ параметров, но из них надо вычесть 3, отвечающих глобальному
калибровочному преобразованию, при котором, очевидно, не меняется физика
конфигурации. Таким образом, подсчет показывает, что общее g-инстантонное
решение уравнений Янга-Миллса зависит от &\q\ - 3 произвольных
параметров.
Другим важным свойством инстантона БПШТ является то, что напряженность
поля оказывается антисамодуальным тензором
= ±Fp" = ±-eliUCtl3Fali, (3.103)
где знак минус отвечает решению (3.100) с q = +1, а знак плюс
соответствует q = - 1. Это следует из свойств тензоров т'Хуфта (3.75).
Уравнение (3.103) называется уравнением самодуальности. Оно играет
фундаментальную роль в построении общих инстантонных решений.
Действительно, используя тождество
(F^ ± Fр2 = 2FpUF"u ± ?^a!3F^Faf3,
действие (3.76) при фиксированном q можно оценить снизу S ^ твл2q, и
минимумы действия, на которых достигается равенство S = 87г2|д|,
реализуются на самодуальных и антисамодуальных конфигурациях,
удовлетворяющих (3.103). Более того, в силу тождества Бианки
?^aPVvFaP = 0
любое решение (3.103) автоматически является решением уравнений Янга-
Миллса VI1F>"' = 0. Таким образом, задача получения инстантонов
естественно сводится к рассмотрению уравнений самодуальности. Это
приводит к значительным техническим упрощениям, поскольку (3.103) суть
уравнения первого порядка в отличие от уравнений Янга-Миллса.
Важным следствием свойства самодуальности инстантонных полей является то
(см. (3.103)), что тензор энергии-импульса
ТГ = - Тгi Tr(Fal3Fap) 6:= 0
тождественно равен нулю на инстантонных конфигурациях. Данный факт
обусловливает важную роль инстантонов в структуре вакуума калибровочных
полей.
Поле 1-инстантона (3.102) регулярно всюду внутри 5^, а нетривиальное
значение топологического заряда q = 1 объясняется его поведением на
бесконечности. Перейдем, однако, к так называемой сингулярной калибровке
А' = gAg~l + gdg~l
с помощью .преобразования g = g{1. Нетрудно видеть, что в этой калибровке
152
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
на бесконечности А' ~ gdgx = 0, тогда как в х = х,, потенциал сингулярен
и имеет вид чистой калибровки А1 ?" 9\ldg{. При этом по прежнему q = +1,
только это значение обеспечивается теперь вторым слагаемым в правой части
(3.91) - интегралом по сфере Е вокруг сингулярности.
Калибровка (3.104) удобна тем, что М можно компактифицировать до S4,
отображая с помощью стереографической проекции в один из полюсов S4.
Кроме того, в данной калибровке легче строить мультиинстантонные решения.
Переходя к компонентной записи А = A*ta dx11, находим для (3.104):
=_у ,|n/, + _AL_\ (3|05)
(ж - Ж|)2[(ж - ас,)2 + А2] V (x-Xi)2)
Хотя в формуле (3.105) появился самодуальный тензор т'Хуфта д (ср. с
(3.100)-(3.101)), данное поле остается антисамодуальным, как и (3.102). В
этом можно убедиться, дуали-зуя соответствующий тензор напряженности:
4А2 (V. 2(ха - Xi)
F =--------------------------------2 л" +
г/ м . 41 1 'Щ/ 1
[(ж - Xi)2 + А2] [ (х - х,)
(+) (+) (х" - xItl)y"a - (х" - х{")У^,
Прежде чем выписать мультиинстантонные решения, обратимся к решению
(3.99). Сравнивая его с (3.105) (и полагая А2 = с'), обнаруживаем, что
(3.99) представляет собой самодуальный инстантон в сингулярной калибровке
с q = - 1. Таким образом, сферически симметричный анзац (3.91)-(3.93)
позволил нам одновременно получить все инстантонные решения с низшими
значениями топологического заряда q = 0, +1, - 1 (3.97)-(3.99).
Обозначим
А2
Тогда инстантон БПШТ в сингулярной калибровке имеет вид
(+)
Al =-%vdv 1пФ (3.106)
(пока мы всего лишь переписали еще раз (3.105), опустив штрих и
переобозначив выражение под логарифмом). Подставляя (3.106) в уравнение
Янга-Миллса, находим
= vb [с>Дф-'ПФ) + 20м(1пФ)Ф_1ПФ] ,
и эта величина обращается в нуль в силу того, что введенная скалярная
функция удовлетворяет уравнению
Ф~'аФ = 0.
Однако (3.107) имеет более общее решение, а именно:
+ (3.108)
где А, X; , i - 1 ..., q - это 5q постоянных интегрирования. Потенциал
(3.106), (3.108) называется мулътиинстантонным решением т 'Хуфта. Оно
является естественным обобщением 1-инстант.онного БПШТ и описывает
конфигурацию с q максимумами поля в точках , ..., х1'. Параметры А,
задают значения этих максимумов.
§6. Инстантоны
153
Решение т'Хуфта сингулярно в точках х = х{. Однако напряженность поля
всюду регулярна, и сингулярности потенциала могут быть ликвидированы
калибровочным преобразованием. Чтобы убедиться в этом, перепишем (3.106),
(3.108) на языке форм
Еч Aj in . to (D сг.Ах11 - аф)(|) , "о
--------~29~][dg.n 9г - ~9~^9г. (3.109)
Ф(ж - х{)2 Ф(х - х{)2
г- 1
Анализ показывает, что на бесконечности А ~ 0, а в сингулярных точках
потенциал А есть чистая калибровка
m , id
A(xt) ~ д{ dgt.
Используя это в (3.91), получаем, что нетривиальный топологический заряд
