Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Полезно доказать следующее свойство аддитивности величины (3.86).
Обозначим
I^lg] = е'1(tm)'3 Тг [(дд"д~1)(ддад~1)(ддрд~')] .
Несложно убедиться, что для д = gig2 имеет место тождество
ГШг] = + ГШ - Зв" {е^ Тг [(г,ва5Г1)(92 W)] } •
Тогда, поскольку из (3.86) следует
п[9] = тЬ Jd^r[9]'
si
находим, что для композиции калибровочных преобразований степени
отображений складываются:
n[gig2] = "Ы + п[д2]. (3.87)
Вернемся теперь к калибровочным полям на М. Согласно (3.78) поведение
поля на бесконечной сфере S3X описывается, калибровочным преобразованием
д(х), х ? 5^. Следовательно, конфигурация поля на границе характеризуется
целым числом - топологическим зарядом (3.85). Это число п классифицирует
калибровочные поля и внутри 5^, т. е. на всем пространстве М.
Действительно, пусть поля и А'^ на М
§6. Инстантоны
147
характеризуются на бесконечности числами п и п' Ф п. Тогда они
принадлежат разным гомотопическим классам, т. е. их нельзя непрерывным
образом деформировать друг в друга, поскольку это приводило бы к
гомотопии соответствующих калибровочных преобразований на 5^, а это
невозможно в силу п' Ф п.
Данный факт можно установить иначе, переписав выражение (3.86) в виде
интеграла по М от характеристической формы Чженя с2. Для этого заметим,
что форма
c2 = ^WAF)
является внешним дифференциалом с2 = d,C от так называемого вторичного
характеристического класса Чженя-Саймонса
С = ^Tr Л F- Л А Л А^ . (3.88)
Интеграл от формы - с2 по шару D3 внутри сферы 5^ называется
индексом Понтрягина
(числом Чженя q многообразия D} с границей), и с помощью (3.88) по
теореме Стокса находим
Q=~f °2 = ~J С = 24^ /Tr^d5"') Л (9d9~l) л (9d9~'Y, (3-89)
м ом si-
ще учтено, что F = 0 и А = gdg~l на 5^. Сравнивая
(3.89) с (3.86), получаем q = п.
Таким образом, топологический заряд инстантонных решений является
целочисленным и равен степени отображения
g(x) : Si -" SU(2).
Поскольку классы Чженя являются топологическими инвариантами, для
произвольных локальных деформаций поля 6А внутри 5^ вариация 6с2 =0.
Полезно записать приведенные выше величины в координатах на М:
С2 = ггЦ Tr<?х, ~ Tr(F^Fa0)e^ = д.Г,
Hi:1 1
где векторное поле
г = ?^ Tr ^AaFM - ^AaA0A^j (3.90)
является дуальным к 3-форме Чженя-Саймонса С (с точностью до постоянного
множителя).
Прежде чем приступить к рассмотрению простейших инстантонных решений,
необходимо сделать важное замечание. Мы определяли инстантон как
регулярное решение уравнений Янга-Миллса. Регулярность в данном случае
понимается как существование на М гладкой 2-формы F напряженности
калибровочного поля, что гарантирует возможность вычисления действия S и
топологического заряда q на таких решениях. При этом 1-.форма потенциала
А, которая не считается в отличие от F физической наблюдаемой, не
обязательно существует всюду внутри 5^. Однако условия конечности
действия и регулярности F приводят к тому, что в точках сингулярности А
напряженность F должна обращаться в 0, т. е. потенциал имеет вид чистой
калибровки А ~ gdg~' с некоторой сингулярной в данной точке х матрицей
д(х).
148
Г лава 3. Топологические характеристики в теории поля
Выше при выводе (3.89) мы предполагали, что А, так же как и F, регулярен
всюду на М. Если учесть сделанное замечание, то приходим к выводу, что
форма С также может не существовать всюду на М, в отличие от формы с2,
которая не содержит А. Поэтому, применяя в (3.89) теорему Стокса, надо
включить в границу дМ не только бесконечную сферу но и поверхность Е,
являющуюся объединением сфер малого радиуса, внутри которых содержатся
сингулярные точки А, т. е.
Я = - J с2 = ^~2 J Тг (gdg~1 Л gdg~1 Л gdg~') + J Тг (gdg~1 Л gdg~' A
gdg~') ,
м sL s
(3.91)
где A ~ gdg 1 на сфере E (или объединении сфер), имеющей исчезающе малый
радиус вокруг сингулярной точки.
Формула (3.91) делает возможным использование всюду в М произвольных
калибровочных преобразований, что часто упрощает вычисления.
С одной стороны, с помощью (сингулярного в общем случае) калибровочного
преобразования
А -> giAg;1 +gtdg;1
всегда можно сделать поле А регулярным всюду внутри 5^. Тогда последний
член в (3.91) равен нулю (т. е. приходим к (3.89)), и тем самым q целиком
определяется нетривиальным поведением калибровочного поля на границе 5^.
С другой стороны, калибровочным преобразованием (тоже в общем случае
сингулярным) любое А на М можно привести к виду, когда на бесконечности А
~ gadg^x, где <7" - некоторая фиксированная матрица, например ga = 1.
Тогда допустимо стянуть 5^ в точку и перейти к компактификации М как 4-
мерной сферы S4. При этом нетривиальное значение q будет полностью
определяться вторым слагаемым в (3.91), т. е. поведением калибровочного
поля внутри 5^, или, эквивалентно, структурой расслоения над S4.
Последнее (замена плоского М на S4) удобно тем, что база расслоения
становится компактным многообразием. Причем в силу конформной
инвариантности действия (3.76) компактифицированное М не только
