Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
(антисамодуальность) тензоров т'Хуфта:
(±> 1 <*> "я
1?в"" = ± (3.75)
Из (3.72) легко получить
QQ = QQ= detQ ¦ 1 = • 1,
и следовательно, для всякого ненулевого кватерниона определен обратный
элемент
Множество кватернионов единичной длины QQ = 1 образует группу
(относительно матричного умножения), которая изоморфна группе 517(2). В
дальнейшем мы будем часто
144
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
использовать этот факт, представляя матрицы калибровочных преобразований
д ? SU (2) кватернионами (3.71). Также 517(2)-калибровочное поле Afl
можно рассматривать как чисто мнимое кватернионное поле на М.
Рассмотрим модель евклидова янг-миллсовского поля Afl без источников. Его
функционал действия
S = ~j d?xTi(FliVFllv) = J d*xX-Fa^Fr (3.76)
является положительно определенным, и поэтому, для того чтобы он был
конечным, калибровочное поле должно достаточно быстро убывать на
бесконечности, т. е.
F^x) О, N оо. (3.77)
Поскольку М - евклидово пространство, из (3.77), как и в солитонных
моделях, получаем, что калибровочный потенциал для поля с конечным
действием есть чистая калибровка (вакуумное калибровочное поле)
А^х)^дд,д-', д(х) ? 517(2), (3.78)
на бесконечности \х\ -> оо.
Бесконечность в М будем описывать как сферу S{_ с радиусом R =
х^х'' -> оо,
рассматривая ее как границу евклидова пространства дМ = 5^. Тогда
(3.77)-(3.78)
задают граничные условия для конфигураций калибровочного поля на М.
Поля на дМ определяются отображениями
g : Si -> 517(2),
все множество которых распадается на классы гомотопически эквивалентных
калибровочных преобразований. Поскольку 517(2) и 53, гомотопическая
группа
тгз(517(2)) = Z,
и классы эквивалентности полей на границе можно характеризовать целым
числом п ? Z. Последнее естественно ввести как степень отображения 53 ->
53.
Для этого перейдем в М к 4-мерным сферическим координатам
x° = rcosx, х' = г sin х sin в sin ip,
х2 = г sin х sin 9 cos ip, x3 = r sin x cos 9.
Тогда координаты на 5^ (при г - Я -> оо) задаются углами
О^Х^тг, 0 ^.9 7г, 2тг. (3.80)
Обозначим у' = х> у2 = 9, у3 = <р.
Аналогично введем параметризацию матриц g ? 517(2), рассматриваемых как
вещественные единичные кватернионы
9 = 9^, 9*9* = 1,
посредством трех углов
? = {*, в, ф}, г = 1, 2, 3,
(3.79)
§6. Инстантоны
145
таким образом, что
д0 = cos х, 91 = sin х sin 0 sin ip,
g2 = sin x sin в cos ф, <73 = sin x cos 0.
Тогда произвольное SU(2)-калибровочное преобразование можно записать в
виде
cos X + i sin х cos 0 sinxsin0e
- sinxsin0e~'v3 cos x ~ i sin x cos 0
(3.81)
На границе S'^ евклидова пространства М функции у(у) определяют
отображение 53 -> 53, степень которого deg у(у) показывает, сколько раз
координаты у' пробегают интервалы (3.80), т. е.
та = degy(y) = J d3ysin2xsin0 = J ,
3ysin xsin0|J|,
(3.82)
где J = det (^7) - якобиан отображения y(y), a E - область интегрирования
по
переменным у. Отметим, что степень та = 1 имеет тождественное отображение
X = х> 0 = 0, ф - р, тогда как произвольное значение та достигается
отображением
ф = тыр
(т. е. сфера 5^. "накручивается" та раз на 53 и SU(2) вокруг оси хъ = z).
Пользуясь (3.81), выпишем в явном виде соответствующие SU(2)-матрицы. Для
отображения с та = 1 имеем
9 = т
(X"XV)2
а в случае произвольного та (когда tp = nip)
cos x + * sin x cos 0 sin x sin Qe'v
- sin x sin ве~хч> cos x - i sin x cos 0
(3.83)
9 = (9)п.
Аналогичное та-кратное "накручивание" может иметь место вокруг любой
другой оси, например, при отображениях х = ПХ> 0 = в, ф = <р или X = Х> ^
= п0, ф = tp. Степень та = 0 получается, когда вся сфера 5^ отображается
в одну точку из SU(2), например, при х = 0, 0 = 0, <р = ф. Тогда
соответствующая SU(2)-матрица д = 1.
Как известно, степень отображения является гомотопическим инвариантом,
поэтому произвольное SU(2)-прсобразование с заданным та можно получить из
описанных выше примеров посредством гомотопии.
Формула (3.82) определяет топологический инвариант та для случая, когда
матрица SU(2) параметризуется углами у1 согласно (3.81), а граничная
сфера 5^ описывается координатами (3.79). Перепишем (3.82) в инвариантной
форме, которая не зависит ни от выбора параметризации на группе 517(2),
ни от координат в М. Для этого заметим, что из (3.81) можно получить
cos x - * sin x cos 0 - sin x sin 0е,у5
sinxsin^e-^ cos x + i sin x cos 0
146
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
откуда после несложных вычислений находим
sin2 % sin 0 = ^Тг[(5д15"')(</<92<Г')(<7<9з)], (3.84)
где мы обозначили
д
г =1,2,3.
ду1
Подставляя (3.84) и выражение для якобиана
j _ ?tjkdl_ dtf_ ду' ду1 дук
в (3.82), получаем
П=Ъжг J d3y?':'kTr[('9di9^('9dj9~[)('9dk9^]' (3-85)
где фактор 7 учитывает 3! одинаковых членов под интегралом в (3.85).
Принимая во
6
внимание e'ik = e°'jk, выводим из (3.85) искомое инвариантное выражение
П=2^тг> J (3-86)
5^
где dtTf, - элемент поверхности 5^, р, и, а, (3 = 0, ..., 3. Оно имеет
один и тот же вид в любых координатах пространства М.
