Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Можно заметить, что, приведя общее математическое описание вакуумных
калибровочных полей, рассмотрение конкретных моделей мы ограничили
случаем только абелева поля. Дело в том, что вакуумные калибровочные поля
на пространствах с абелевой группой 7ГД.Х) не могут порождать неабелеву
группу голономии К в силу изоморфизма 7ГД.Х) - К, а пространства с
некоммутативными фундаментальными группами устроены довольно сложно.
Одним из простейших примеров таких пространств является плоскость с
ручкой, или, что эквивалентно, тор без точки (рис. 15), где пути ah а2, Ь
связаны соотношением а, = Ьа2Ь~' Ф а2.
Рис. 15
Можно рассмотреть калибровочную модель неабелевой группы G на
пространстве X с коммутативной группой 7Г,(X). Однако вакуумные
калибровочные поля группы G на таком пространстве фактически будут
калибровочными полями некоторой абелевой подгруппы группы G. Например, в
ряде работ исследовался эффект Ааронова-Бома в модели
X = Е3\{р = 0}, G = 517(2)
(517(2) - группа преобразований изоспина). Выбором калибровки вакуумное
калибровочное поле в этой модели может быть приведено к виду
гФ / 1 о \
А" = Az =0, Ас - - ° _j J ,
т. е. представляет собой калибровочное поле абелевой подгруппы-17(1)
группы 517(2), состоящей из матриц
"р"")"=( "Г' -,xp<ia,)'
5*
132
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
В заключение отметим, что в моделях вакуумных калибровочных полей, как и
в солитонных моделях, рассматривались тривиальные расслоения. Более того,
само наличие плоской связности предполагает если не тривиальность, то
редукцию структурной группы расслоения к дискретной подгруппе. Это
следует из того, что если расслоение со структурной группой G над связной
паракомпактной базой допускает связность, абстрактная группа голономии
которой изоморфна подгруппе К, то структурная группа расслоения
редуцирована к этой подгруппе. Обратное неверно, например, тривиальность
расслоения не накладывает ограничений на группу голономии.
Перейдем теперь к рассмотрению тополого-алгебраических характеристик,
которые, в отличие от уже использовавшихся для вакуумных калибровочных
полей и солитонов, вызваны именно нетривиальностью расслоений,
описывающих ту или иную полевую систему.
§ 5. Характеристические классы расслоений
Классификационная теорема
Большинство топологических чисел и зарядов, фигурирующих в полевых
моделях, представляют собой тополого-алгебраические характеристики,
описывающие различные классы ассоциированных расслоений. Поэтому
обратимся к задаче классификации расслоений с данной структурной группой
G над топологическим пространством X.
В общем виде эта задача решается классификационной теоремой, которая
устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами
ассоциированных расслоений над X и гомотопическими классами отображений
базы X в некоторое специальное классифицирующее пространство, зависящее
только от структурной группы.
Обозначим S(X, G) множество классов ассоциированных расслоений над
топологическим пространством X со структурной топологической группой G.
Рассмотрим действие на это множество операций сужения структурной группы
и индуцирования.
Пусть G' - подгруппа группы G. Тогда вложение G' -*¦ G порождает
естественное вложение множества S(X, G') в множество S(X, G), образами
которого являются классы расслоений над X, структурная группа G которых
редуцирована к подгруппе G'. В частности, если база X паракомпактна, G -
группа Ли, a G' - ее максимальная компактная подгруппа, то
5(Х, G) = S(X, G'),
поскольку в этом случае структурная группа расслоений над X всегда
редуцирована к G'. Пример 3.5.1. Укажем важные для физических приложений
случаи совпадения
S(X, G) = S(X, G' С G),
когда
G = GL(n, С), G' = U(n);
G = GL{n, R), G' = O(n);
G = GL+(n, R), G' = 50(n);
G-= 50(3, 1), G' = 50(3).
?
.Пусть / : X -* Y - непрерывное отображение. Для всякого расслоения А.над
У оно индуцирует расслоение /*А над X. Оно наследует структурную группу G
расслоения А.
§5. Характеристические классы расслоений
133
Поэтому отображение / порождает морфизм
Г : S(y, G) - S(X, G).
Для клеточных пространств и паракомпактных пространств морфизмы /*
зависят только от гомотопического класса отображений / и тем самым
определяют морфизм
ir(X, Y) - S(X, G).
Если бы нашлось такое пространство Y, что отображения / : X -" Y
индуцируют биекцию тг(Х, Y) на S(X, G), это позволило бы описать
множество S(X, G) классов G-расслоений над X. Для клеточных пространств X
такое пространство существует.
Расслоение Л со структурной группой G, типичным слоем V и базой bsA = ХА
называется универсальным, если:
а) для всякого расслоения Л с клеточной базой X и слоем V существует
такое непрерывное отображение / : X -" ХА, что расслоение /*Л
эквивалентно Л;
б) всякие два непрерывные отображения fx и /2 клеточного пространства в
ХА, индуцирующие эквивалентные расслоения /*Л и /2'Л, гомотопны.
База универсального расслоения Л со структурной группой G одновременно
