Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
с тождественными функциями перехода
_1 ( Ащ + 2-к)
Рг\ = 9iPi\9\ = exp -г -----------------------
^ (-1)ехр (г у) = L
В этом атласе поле А принимает вид (3.29):
А = 9\dgi ' = А2 = g2dg2 1 = - da.
?
Ф = {UU U2, Рп = Р2Х = 1}
д = exp (ina).
§ 4. Эффект Ааронова-Бома
129
равен нулю, а от формы А' равен Пжп. Причина в том, что форма
g(a)dg~[(a), на которую изменяется 1-форма связности А при таком
калибровочном преобразовании, не является точной, поскольку
g(ai)dg~'(at) = indat = inda2 = g(a2)dg~'(a2),
но а, ф a2. В частности, в Примере 3.4.2 поля А = 0 и А' = inda приводят
к различным значениям магнитного потока 0 и -2жпе.
Для описания таких эффектов, как образование флаксонов и квантование
магнитного потока, необходимо рассматривать вакуумные электромагнитные
поля с учетом их когомологической эквивалентности. Сделаем это, привлекая
понятие относительных гомологий и когомологий.
Относительные гомологии и когомологии
Пусть У - топологическое пространство, а X - его подпространство. Тогда
группы сингулярных цепей Ск(Х) лежат в группах Ck(Y). Назовем группой
относительных цепей фактор-группу
Ck(Y, X) = Ck(Y)/Ck(X).
Элементами Ck(Y, X) являются классы ск, состоящие из fc-цепей ск в Y,
отличающиеся на /г-цепи в X. Граничный оператор д переводит Ск(Х) в Ск-
,(Х), поэтому он определяет некоторый граничный оператор
С* (У, X) - Сц.ДУ, X).
Как и раньше, определим относительные циклы, для которых дск = 0 (это
классы fc-цепей ск в Y, имеющие границы дск в X), и относительные границы
ск - дск+1
(это классы fc-цепей ск в У, отличающиеся от границ ск = дск+1 в У на
некоторую fc-цепь в X). Группой относительных гомологий Hk(Y, X)
называется фактор-группа относительных /г-циклов по относительным А;-
границам. Как и для гомотопических групп, для групп гомологий пары (У, X)
имеет место точная последовательность
... - Нк(Х) - Hk(Y) - ЯДУ, X) - Я*_,(ДГ) - ... . (3.43)
Пример 3.4.8. Если У - стягиваемое пространство, то Hk(Y) = 0, к > 0.
Тогда точная последовательность (3.43) разбивается на короткие
последовательности
О -Я4+|(У, X)Нк(Х)0, к> 0.
Откуда следует, что
Я*+1(У, X) = Нк(Х), к > 0.
Аналогично относительным гомологиям можно определить относительные
когомологии. Пусть X - подмногообразие многообразия У. Рассмотрим
гомоморфизм ограничения к-форм
П*ЧП -" (1к(Х).
5 Зак. 1485
130
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Ядро этого гомоморфизма называется группой относительных к-мерных коцепей
Uk(Y, X) пары (У, X). Она состоит из А;-форм ак на У, которые на X С У
равны нулю. Будем обозначать такие формы ак. На О*(У, X) действует тот же
оператор внешнего дифференцирования d, что и на ГГ(У), и определены
относительные коциклы и кограницы, представляемые замкнутыми (dak = 0) и
точными (ак = dak~') формами. При этом относительный коцикл является и
обычным коциклом, но относительный коцикл, будучи обычной границей (т. е.
ak = dak~'), может не быть относительной границей, т. е. не найдется
нулевая на X форма ак~', такая, что ак - dak~'.
Группами относительных когомологий Hk(Y, X) называются фактор-группы
замкнутых А;-форм ак по относительным А;-границам. Как и для групп
гомологий, для групп когомологий пары (У, X) имеет место точная
последовательность
... -> Hk(Y, X) -> Я*(У) -> Нк(Х) -> ЯЬ+1(У, X) -> ... . (3.44)
Пример 3.4.9. Если У - стягиваемое пространство, то Hk(Y) - 0, к > 0.
Тогда точная последовательность (3.44) разбивается на короткие
последовательности
0 -> Нк(Х) -> Hk+l(Y, X) -> 0, А: > 0.
Откуда следует, что
Hk+\Y, X) = Нк(Х), к>0.
?
Применим эти конструкции к интересующему нас случаю вакуумных
электромагнитных полей. Пусть У - многообразие, некоторое подмногообразие
которого X допускает вакуумное электромагнитное поле. Тогда группа
относительных когомологий Я2(У, X) определяет множество типов магнитных
полей в Y\X, образующих флаксоны.
Поток такого поля д2 (это коцикл в П2(У, X)) через поверхность с2 в У,
граница которой принадлежит X (с2 - цикл в С2(У, X)), определяется
интегралом
с2
который зависит только от класса относительных когомологий Я2(У, X) формы
<х2 и класса относительных гомологий Я2(У, X) поверхности с2.
Действительно,
I °2 = J^ + ^^ = I °2 + J ^ = I °2'
с 2 су ст ог2сх г2
h'\ / - /-/-/"•¦ /.-
с; С2 + 0сз + Д су Осу Д су су Су
Если У - стягиваемое пространство (например, У = К3, а X - конфигурация,
образованная сверхпроводником), то всякая замкнутая форма а2 является
точной на У, т. е. <х2 = da', где а1 - замкнутая форма при ограничении на
X. Тогда значение интеграла
* = /"> = /*,¦ =
су с2 Осу С -"V
I
(3.-45)
§ 4. Эффект Ааронова-Бома
131
определяется классом когомологий Н'(Х) формы а' и классом гомологий Нх{Х)
контура дс2 . Это является следствием изоморфизмов
Я*+'(Г, X) = Нк(Х), Hk+l(Y, X) = Нк(Х) для стягиваемого пространства Y.
Частным случаем равенства (3.45), когда
У = Е3, Х = Е 3\{р = 0},
служит выражение для магнитного потока (3.32) в Примере 3.4.1.
