Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Р
Заметим, что группы сингулярных гомологий Нр(Х, Ж) можно было бы, не
прибегая к громоздким геометрическим конструкциям, определить просто как
пространства, дуальные к НР(Х). Однако таким способом нельзя однозначно
восстановить целочисленные группы гомологий Нр(Х), а только с точностью
до кручения.
В случае, когда X - замкнутое (т. е. компактное без границы)
ориентируемое многообразие, для групп когомологий Н*(Х) (они
конечнопорожденные) и гомологий Н,(Х, Ж) имеет место также двойственность
Пуанкаре. Ее можно реализовать следующей билинейной формой:
Q(ap, а^р) = f ар Л х
которая, как легко проверить, зависит только от когомологических классов
форм сгр и ап~р и является, тем самым, билинейной формой на группах
когомологий
Q(, ):Нр(Х)(r)Нп~р(Х)^Ж. (3.26)
Это определяет изоморфизм НР(Х) и Нп~р(Х) и в силу двойственности де Рама
изоморфизм НР(Х, К) и Нп_р(Х, Ж).
В частности, отсюда следует соотношение Ьр = Ьп_р для чисел Бетти
замкнутого ориентируемого многообразия X, и, если размерность X нечетна,
эйлерова характеристика X равна 0.
Двойственность Пуанкаре
НР(Х, Ж) = Нп_р(Х, Ж)
имеет место и для компактных многообразий с краем. Следствием является
то, что, если Хп такое многообразие, тогда
х№п)= (1 + (-1)") *<*").
В частности, эйлерова характеристика границы всегда четна.
Билинейная форма (3.26) приводит к еще одной числовой гомотопически
инвариантной характеристике - сигнатуре многообразия. Пусть п = 41 vi р =
21. тогда форма Q(, )
§4. Эффект Ааронова-Бома
121
является симметричной на вещественном векторном пространстве Н21(Хп) и
может быть приведена к диагональному виду. Сигнатура замкнутого
ориентированного многообразия определяется как сигнатура этой формы
(разность между числом положительных и отрицательных диагональных
элементов). Заметим, что она зависит от ориентации.
Важным примером теории когомологий являются также когомологии со
значениями в пучках. Их описание приведено в Приложении В. Для гладкого
(паракомпактного) многообразия X имеет место изоморфизм
НР(Х) = НР(Х, К) (3.27)
групп когомологий де Рама и групп когомологий НР(Х, Е) пространства X с
коэффициентами в постоянном пучке Ж. Этот изоморфизм является ключом к
применению методов алгебраической топологии в теории поля, поскольку
позволяет выразить тополого-алгебраические характеристики расслоений,
представляемые элементами групп когомологий
НР(Х, Z) С НР(Х, Ж)
с коэффициентами в постоянном пучке Ъ С Ж, через когомологические классы
де Рама дифференциальных форм, построенных из форм кривизны связностей на
расслоениях.
§4. Эффект Ааронова-Бома
Вакуумные калибровочные поля
Следуя критериям вакуумного поля классической полевой модели, вакуумными
называются калибровочные поля, имеющие всюду нулевую напряженность.
Если форма напряженности F калибровочного поля А равна нулю в некоторой
стягиваемой области U пространства X, то поле А в этой области
представимо в виде
А = g(x)dg~'(x), (3.28)
где д(х) - некоторый элемент группы G(U) функций на U со значениями в G.
Отсюда следует, что на стягиваемой области вакуумное калибровочное поле
всегда может быть устранено калибровкой, т. е. приведено к виду А = 0.
Это перестает быть справедливым для всего пространства X, если оно не
стягиваемо. Е1апример, группа когомологий де Рама Н'(Х) такого
пространства необязательно тривиальна, и на них могут существовать
калибровочные поля, напряженность которых всюду равна нулю, но сами они
не устранимы калибровкой. Они вызывают эффекты типа Ааронова-Бома и
квантования магнитного потока - образование флаксонов. Рассмотрим абелев
случай электромагнитного поля.
В классической механике заряженных тел в уравнения движения зарядов
входят только компоненты тензора напряженности электромагнитного поля, а
его потенциал рассматривается как нефизическая величина, которая не
проявляется в ненаблюдаемых эффектах. В квантовой механике и теории поля
электромагнитный потенциал Atl непосредственно содержится в уравнениях
движения в составе оператора обобщенного импульса
- г'еАД
однако и здесь вопрос о наблюдаемости потенциала А остается до конца не
ясным.
Чтобы выделить эффекты, обусловленные не напряженностью, а потенциалом
электромагнитного поля, казалось бы, можно рассмотреть процессы,
например, рассеяния в
122
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
электромагнитном поле, напряженность которого равна нулю. Такие эффекты -
эффекты Ааронова-Бома - были предсказаны и экспериментально
исследовались. Однако, как уже отмечалось, поле А, не устраняемое
калибровкой, может иметь нулевую напряженность (не будем касаться
проблемы практического создания такого поля) только в некоторой
нестягиваемой области, на границе которой напряженность поля обязательно
отлична от нуля. В какой мерс оба эти обстоятельства - топологическая
нетривиаль-ность области U, где F = 0, и граничные условия F Ф 0 на 8U -
сказываются на эффектах Ааронова-Бома? Существует мнение, что физически
