Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
параллельного переноса, соответствие 7 -* д1 является гомоморфизмом
группы Гх в группу изоморфизмов слоя ж~\х). Образ этого гомоморфизма Кх
называется группой голономии связности в точке х Е X. Группы голономии Кх
в разных точках изоморфны, поэтому можно говорить об абстрактной группе
голономии К.
Группа Гх содержит инвариантную подгруппу Гх, состоящую из путей 7,
стягиваемых в точку х. При гомоморфизме Гх -> Кх подгруппа Гх
отображается в подгруппу Кх С Кх, именуемую ограниченной группой
голономии в точке х Е X, и соответственно определен гомоморфизм фактор-
группы
Гх/Г°х = тг,(АТ, х)
на фактор-группу Кх/Кх. Далее, имеется изоморфизм группы голономии Кх на
подгруппу структурной группы G. Действительно, пусть Ас - главное
расслоение. Фиксируем элемент р Е Жр'(х) и всякому д..(р) сопоставим
элемент д Е G, такой , что </т(р) = рд-Обозначим Кр образ Кх в G при
таком сопоставлении. Если выбрать другой элемент р Е жр\х), такой, что р
= рд0, д0 Е G, то подгруппы KF и Кр, сопряжены в G, т. е.
Кр, = до'Крда.
Таким образом, связность А определяет гомоморфизмы группы замкнутых путей
Гх на подгруппы группы G, сопряженные в G.
Пример 3.4.3. Рассмотрим Н(1)-расслоение, в слоях которого группа U(\)
действует как группа умножений на фазовый множитель ехр(т). Пусть iA -
локальная 1-форма.связности на этом расслоении (Г = г - генератор группы
U(\) в данном представлении). Дифференциальное условие параллельного
переноса П(1)-связностью гА имеет вид
Dv = (d + iA(x))v - 0, (3.36)
§ 4. Эффект Ааронова-Бома
125
где v - элемент слоя тг^'(х). Проинтегрируем это уравнение вдоль
некоторого пути 7. Пусть v(a) - сечение {/(1)-расслоения вдоль пути 7([0,
1]), получаемое параллельным переносом элемента г>(7(0)). Тогда условие
(3.36) принимает вид дифференциального уравнения
dv(a) dxlt(a)
-j- + *А/1(7(<7)) -- v{a) = 0. (3.37)
da da
Подчеркнем, что, поскольку А - локальная 1-форма связности, уравнения
(3.36) и (3.37) определены отдельно на каждой карте атласа расслоения.
Если путь 7 умещается на одной карте, то решением уравнения (3.37)
является
v(a) = v(0)exp -i
Отсюда получаем, что при параллельном переносе вдоль пути 7 элемент v ? л
1 (7(0)) умножается на фазовый множитель:
^(7(1)) = 9-,у(7(0)) = ехр I (7(°))- (3.38)
Если путь 7 пересекает несколько карт, то его можно представить как
композицию путей 7;, умещающихся на каждой карте, для каждого из которых
справедливо выражение (3.38). Но при переходе с карты на карту надо
учесть функции перехода р, i+,. В результате, преобразование
параллельного переноса ду вдоль такого пути имеет вид
Рк-\,к •••Лзехр рпехр (3.39)
В дальнейшем мы сохраним для ду запись (3.38), подразумевая учет функций
перехода p;,;+i при взятии интеграла А. Фиксируем точку х € X и
ограничимся замкнутыми путями из группы Гх. Тогда множество
преобразований ду, 7 6 Г" образует группу голономии Кх с групповой
операцией
дуду' = ехр ехр = ехр i = ехр
В слое главного (7(1)-расслоения отображение параллельного переноса
представляет собой сдвиг группового параметра
а -> (а + а7) mod 2л, а7 = - / А, (3.40)
7
и отображение
7 -> ау mod 2л
есть гомоморфизм Г* на группу голономии Ка - подгруппу структурной группы
(7(1). Поскольку (7(1) коммутативна, Ка = Ка>. ?
126
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пусть связность А плоская, т. е. ее кривизна F во всех точках равна нулю.
Тогда ограниченные группы голономии К(r) и Kl тривиальны. Это следует из
теорем, что группа голономии К° является связной подгруппой Ли группы G и
что ее алгебра Ли определяется значениями, принимаемыми формой кривизны
связности А в точках многообразия X. Мы проиллюстрируем этот факт с
помощью следующей конструкции, подобные которой широко применяются для
приближенных расчетов в калибровочных моделях на решетках.
Пример 3.4.4. Всякий стягиваемый в точку х путь у можно представить как
образ границы квадрата [0, 1] х [0, 1] при некотором его отображении / в
X. Разобьем квадрат на то х то клеток и обозначим А(г, j) отмеченный на
нем путь. Образ этого пути у (г, j) в пространстве X при отображении /
называется лассо. Тогда легко проверить, что путь у может быть
представлен как композиция таких лассо
у (то, то)... 7(1, т)...у(т, 2)...у(1, 2)...у (то, 1)... -у(1, 1).
(3.41)
Пусть теперь число элементов разбиения неограниченно возрастает. Тогда
вклад каждого лассо в оператор параллельного переноса имеет вид
9 'ехр 9,
где д - оператор параллельного переноса вдоль петли лассо, F - кривизна в
некоторой точке внутри петли лассо, а ДS - элемент площади петли лассо.
Если F = 0 во всех точках, ду - тождественное преобразование. ?
Когда связность плоская, ограниченная группа голономии тривиальна и
гомоморфизм фундаментальной группы Vi(X, х) на Kx/Kl превращается в
гомоморфизм на Кг, а тем самым определены гомоморфизмы 7г,(Х, х) на
сопряженные подгруппы структурной группы G.
Пример 3.4.5. Рассмотрим тривиальное 17(1)-расслоение над пространством
