Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 60

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 97 >> Следующая

является базой универсальных расслоений со структурной группой G и
всевозможными другими типичными слоями и в этом смысле не зависит от
типичного слоя. Она называется классифицирующим пространством группы G.
Теорема, устанавливающая существование классифицирующих пространств,
называется классификационной теоремой.
Теорема 3.5.1. Для всякой топологической группы G существует
топологическое пространство B(G), являющееся классифицирующим для всех
расслоений со структурной группой G над клеточными пространствами X, т.
е.
S(X, G) = ж(Х, B(G)).
?
Из классификационной теоремы следует, что для данной группы G множество
S(X, G) зависит только от гомотопического типа пространства X и является
тем самым гомотопическим инвариантом. Это и позволяет решать задачу
классификации расслоений методами алгебраической топологии. Для некоторых
типов топологических групп G классификационная теорема справедлива для
расслоений не только с клеточной базой.
Пример 3.5.2. Чтобы прошипострировать действие классификационной теоремы,
приведем классификацию расслоений с дискретной структурной группой G.
Главное расслоение Л с дискретной структурной группой образует накрытие
(см. Пример 3.4.6). Рассмотрим для этого расслоения, как и в Примере
3.1.10, точную последовательность гомотопических групп (3.5), которая
распадается на короткие точные последовательности (3.6) и (3.7). При этом
в случае главного расслоения проекция (3.9) - это гомоморфизм
фундаментальной группы через порождаемую ею группу голономии Кр (см.
Пример 3.4.6) на G как на структурную группу. Отсюда следует, что Кр = G
и образ 7г,(tl Л, р) в 7г] (X, л(р)) при мономорфизме (3.8) - это
некоторая подгруппа N группы 7Г[(Х, 7г(р)). Таким образом, для
существования над связным пространством X расслоения со структурной
группой G необходимо, чтобы в тгДХ,.) существовала такая инвариантная
подгруппа N, что фактор-группа тг^Х, ,)/N изоморфна G. Для широкого
класса пространств X, например, связных локально стягиваемых (когда
всякая окрестность
134
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
точки содержит стягиваемую окрестность), это условие является
достаточным. Классифицирующим пространством B(G) дискретной группы G
является, например, связное локально стягиваемое пространство с
гомотопическими группами
t,(B(G)) = G, 7Г"С8(G)) = 0, п > 1.
Действительно, в этом случае гомотопический тип отображения X -> B{G)
определяется только ядром гомоморфизма
тг,(Х, СB(G),.) = G.
?
Для физических приложений наибольший интерес представляют
дифференцируемые векторные расслоения над паракомпактными многообразиями
со структурными группами GL(n, С) или GL(n, Е), редуцированными
соответственно к (7(п) и О(п). Классифицирующими пространствами этих
групп служат
В(Щп)) = lim G(n, N; С),
N - эс
Я(0(п)) = lim G{n, N; Е),
с
где G(n, N', С) и G(n, Я; Е) - многообразия Грассмана n-мерных плоскостей
в C'v и RN. Знание классифицирующих пространств позволяет
классифицировать (7(п)- и 0(п)-расслоения над многообразиями (и над более
широким классом пространств) с помощью характеристических классов -
элементов групп когомологий Н'(Х, Ъ) со значениями в постоянном пучке Ъ
(см. Приложение В).
Мы в основном будем иметь дело со следующими характеристическими
классами:
классами Чженя с; G Н2'(Х, Ъ) для (/(п)-расслоений;
классами Понтрягина р{ G Н4'(Х, Ъ) для 0(п)-расслоений;
классом Эйлера е G Нп(Х, Z) для 50(п)-расслоений;
классами Штифеля-Уитни w{ G Н'(Х, Z2) для касательных расслоений.
Классы Чженя
Начнем с классов Чженя U(n)-расслоений. Возможны различные пути описания
классов Чженя и определения их свойств. Воспользовавшись вложением
Я*(Х, Ъ) -" Я*(Х, Е)
(по модулю кручения) и изоморфизмом Н'(Х, Е) и групп когомологий де Рама
Н'{Х) (см. Приложение В), мы будем строить классы Чженя как классы
когомологий некоторых форм на X.
Пусть А - комплексная (к х к)-матрица и Р(А) - полином из компонент
матрицы А. Полином Р{А) называется характеристическим, если
Р{А) = Р(дАд~х)
для всех д € GL(k, С). Если А имеет собственные значения {а,, ..., afc},
то Р(А) представляет собой симметричную функцию этих значений. Обозначим
5Да) следующий симметричный полином от а{ степени j:
Sj(a) - Y2 ai,--air (3.46)
§ 5. Характеристические классы расслоений
135
Тогда Р(А) представим как полином
Р(А) = b0 + biSiia) + b2dS2(a) + ...
от S,-(a), j = 1, fc.
Пример 3.5.3. det(l+J4), где 1 - единичная матрица, является
характеристическим полиномом и
det(l Ч- А) = 1 Ч- 5i(a) Ч- S2(a) Ч-... Ч- Sk(a).
?
Пусть Р(А) - характеристический полином. Подставим в него вместо А
матричнозначную 2-форму кривизны (напряженности) F некоторой связности на
дифференцируемом векторном расслоении со структурной группой. Тогда, как
можно показать, так называемая характеритическая форма P(F) обладает
следующими свойствами:
а) P(F) - замкнутая форма, т. е. dP(F) = 0;
б) P(F) - P(F'), где F и F' - формы кривизны двух любых связностей на
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed