Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
М3 \ {р = 0} из Примера 3.4.1 и на нем плоскую связность, задаваемую
формой (3.29). Интеграл от этой формы по стягиваемому контуру равен нулю.
Чтобы это показать, представим, следуя конструкции из Примера 3.4.4,
стягиваемый путь как композицию лассо у(i, j), таких, что петля каждого
лассо принадлежит стягиваемой области в X. Тогда в каждой такой области
форма (3.29) является точной и интеграл от формы А вдоль петли каждого
лассо, а тем самым вдоль каждого лассо и, следовательно, вдоль
рассматриваемого пути у равен 0. Таким образом, интеграл от формы (3.29)
по замкнутому пути у зависит только от гомотопического класса этого пути.
Выберем в качестве представителя каждого класса п 6 Z = 7г,(Х) путь уп -
п оборотов по окружности р = const в плоскости z = const. Тогда
J А = Фп,
7п
и, согласно (3.40), имеется гомоморфизм группы К\(Х) на подгруппу группы
17(1), состоящую из элементов 17(1) с параметрами
а" = (Фп)mod27Г, п = 0, ±1,... .
Как видим, два вакуумных поля (3.29) задают один и тот же гомоморфизм.
тг,(Х) -* 17(1),
§4. Эффект Ааронова-Бома
127
если их коэффициенты Ф и Ф' отличаются на 2жк. Но такие поля связаны
калибровочным преобразованием
-хк'сх 1 ~ гка
- = ~ + е ,ка-Эае,ка. (3.42)
27г р 2жр р
?
Пример 3.4.6. Расслоениями, связность на которых всегда плоская, являются
накрытия. В этом случае всякий путь, выходящий из точки х ? X, допускает
единственный возможный накрывающий путь, выходящий из каждой точки р ?
тг~[(х). Поэтому группа Гх единственным образом порождает группу
голономии Кр на накрытии. При этом пути, выходящие из р и накрывающие
гомотопные пути из Гх, должны оканчиваться в одной и той же точке из
тг~'(х). Действительно, пути, оканчивающиеся в разных точках дискретного
слоя 7Г-|(?), не могут быть стянуты друг в друга. В частности, пути,
выходящие из р и накрывающие стягиваемые пути из Гх, оканчиваются в самой
точке р. Отсюда следует, что группу голономии Кр на накрытии порождает
гомотопическая группа 7г! (X, 7г(р)), и, если накрытие допускает
структурную группу G, имеется
ГОМОМОРФИЗМ 7Г|(Х, 7г(р)) -> G. ?
Пусть теперь, обратно, задан гомоморфизм 7Г,(Х) в G с ядром N. Можно
показать, что над X существует главное расслоение A,v, структурной
группой которого (она же группа голономии) является irl(X)/N. Поэтому над
X можно построить расслоение А со структурной группой G, редуцированной к
7г,(X)/7V, которое ассоциировано с АЛ-, т. е. имеет атлас Ф0, чьими
функциями перехода являются постоянные функции со значениями в образе
7г,(Х) в G.
Зададим локальную 1-форму связности А, которая в атласе Ф0 имеет вид А =
0. Это можно сделать, так как все функции рЪ1 = const и
А, = р,,Л/Г: + рг:1йр~/ = 0,
если Aj = 0. Хотя в атласе Ф0 форма связности А = 0, это не означает, что
группа голономии связности тривиальна, поскольку при параллельном
переносе слои будут преобразовываться под действием функций перехода
атласа Ф0 (см. выражение (3.39)). При переходе к другому атласу форма А
примет вид
Л, = g,dg~\
а ее форма кривизны остается равной нулю во всех точках.
Атлас Ф0 задан не однозначно, а с точностью до калибровочных изоморфизмов
д{, сохраняющих функции перехода атласа Ф0. Если в другом таком атласе
Ф[, определить форму связности А' = 0, то при переходе к атласу Ф0
получим
¦^г Qidgi ,
т. е. А и А1 связаны калибровочным преобразованием. Таким образом,
гомоморфизм тг^Х) в G определяет вакуумное калибровочное поле с точностью
до калибровочной эквивалентности.
Пример 3.4.7. Пусть X - то же пространство, что и в Примере 3.4.5, G = U(
1) и задан гомоморфизм
7г| (X) = Z Э п -* а = (жп) mod. 27г ? {7(1).
128
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Построим над X тривиальное 1/(1)-расслоение, как в Примере 3.4.5, и
зададим его атлас
Фо = {U\, U2, рп, Р21}j
Определим в атласе Ф0 локальную 1-форму связности А = 0. Однако ее группа
голономии не тривиальна, поскольку при параллельном переносе вдоль пути
7" (см. Пример 3.4.5) в результате тг-кратного действия функций перехода
рп и р2ь согласно (3.39), получаем д1 = (-1)п. Перейдем калибровочным
преобразованием
При совершении калибровочных преобразований в моделях на нестягиваемых
топологических пространствах надо, однако, проявлять осторожность. Дело в
том, что такие преобразования не всегда оставляют инвариантными
интегральные величины. Проиллюстрируем это опять на примере абелева
калибровочного поля. Пусть X - снова пространство К3 \ {р = 0}, А -
тривиальное 1/(1)-расслоение над X и
- его атлас с тождественными функциями перехода, как в Примерах 3.4.5 и
3.4.7. Рассмотрим калибровочное преобразование
Оно определено на всем пространстве X, поскольку
3("г) = 5("2), а,=а2е7"- 07 + 27т = а2 6 V2,
и устанавливает калибровочную эквивалентность (3.42), например, между
полями .4 = 0 и А' - in da. Однако интеграл по нестягиваемому замкнутому
контуру 7i от формы А
UiHL
Рп(х)= 1, х € V], р21(х) = -1
х е v2.
92 = exp
к атласу
Ф = {Uu U2, р\2, р21}
