Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 66

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 97 >> Следующая

гомеоморфно, но и изометрич-но S4, что легко устанавливается посредством
стереографической проекции.
Перейдем к построению инстантонных решений. В общем случае задача их
получения довольно сложна. Здесь мы ограничимся исследованием некоторых
простейших решений.
Условие стационарности действия (3.76) приводит к уравнениям Янга-Миллса
V^r = д^Г + eabcA\Fc= 0.
Для решений этих уравнений с конечным действием имеет место асимптотика
(3.78). Предположим, что асимптотическое калибровочное преобразование
характеризуется ин-
I
дексом n = 1, т. е. задается матрицей (3.83). Обозначим ?" = x*(xvx'') 2,
так что х^х*1 = 1; тогда д(х) = х^а1*. Будем искать инстантонное решение
в виде
" <" <') ,
А = f{x*)gdg~\ (3.92)
где функция fix1*) обладает на бесконечности |ж| -* оо асимптотикой f -*
1. Ан-зац (3.92) еще не означает, что индекс Понтрягина по данной
конфигурации равен 1, так как / может иметь сингулярности внутри 5^.
Проиллюстрируем это для сферически симметричного случая.
§6. Инстантоны
149
Пусть / = /(ж2), ж2 = жмж'1 и А = A'^tadx11. С учетом
(и т. аг "<->
= -aaValil,dxv
X2
(см. (3.72)) найдем коэффициенты 5(7(2) связности
ji' = h(x2)Va, "ж", (3.93)
где введено обозначение h = 2/ж 2. Вычисление тензора напряженности
F% = ДЖ - + еаЬс4яс
для калибровочного поля (3.93) упрощается при использовании тождества
^ 'ObiiaVcvfi fifivVcc/3 ^ctvVfip ^сс/З'П/л') (3-94)
где г) - любой из тензоров т'Хуфта (3.73). В результате находим
f;" = (h2х2 - 2hjv;" + (h2 + 2h')xa (xjvic. - xjv;a), (3.95)
где штрих обозначает производную по ж2.
Подстановка (3.94), (3.95) в уравнения Янга-Миллса приводит к
дифференциальному уравнению
ж2(2h" - Л3) + 3(2h! + h2) = 0. (3.96)
Мы не станем искать общее решение данного нелинейного уравнения. Однако
легко
проверить, что (3.96) удовлетворяют следующие три функции:
Л(5,( ж) = -г, (3.97)
х1 2
X2 + с'
^ (3'99)
где с и с' - произвольные константы. Исследуем свойства этих решений.
Решение (3.97) не является регулярным. Для него имеем /(5) = 3 и
1 in in ,
А= -gdg .
2
Хотя последнее равенство напоминает чистую калибровку, однако таковой не
является, что видно из выражения для напряженности
Действие S для .такого поля расходится как в нуле, так и на
бесконечности, и следовательно, h,S) не дает нам искомого инстантонного
решения. Примечателен, однако, сам факт существования таких простых
(кулоновского типа) точных решений нелинейных уравнений Янга-Миллса.
150
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Анализ решения (3.98) начнем со случая с = 0. Тогда
2
- ~7> /(Я) - 1>
жi
и калибровочный потенциал есть в точности чистая калибровка
(!) (I),
А = дд^д-'.
Как следствие, = 0 всюду на М и действие конечно (равно нулю), т. е. это
- инстантон. При этом форма Понтрягина тривиальна с2 = 0, и значит, q =
0. Последнее никак не противоречит тому, что Ам характеризуется на
бесконечности калибровочным преобразованием д с индексом п = 1, так как
поле А* сингулярно в жм = 0. Задав ? как сферу малого радиуса вокруг
начала координат, получаем из (3.91), что q = 1 + (-1) = 0 в полном
согласии с с2 = 0.
Пусть теперь с ф 0, тогда
х
f (Я) 2 I
Ж2 + С
При с < 0 как потенциал (3.93), так и напряженность поля (3.95) имеют
сингулярности на сфере х2 = -с. В результате действие S расходится и это
- не инстантон. Однако при с = А* > 0 поле всюду регулярно в М и
описывается следующим потенциалом и тензором напряженности:
X (I) (I) , " 2 (-L
A = ^T"gdg ' = <3-100>
= <ЗЛ01)
Таким образом, применима формула (3.89), и находим индекс Понтрягина q =
n- 1. Пол>ченное решение называется инстантоном Белавина-Полякова-Шварца-
Тюпки-на (БПШТ). Нетрудно убедиться, что для него действие конечно и S -
87г2.
Рассмотрим некоторые свойства инстантона БПШТ. Во-первых, из (3.101)
становится понятным, почему он называется инстантоном: поле F^u имеет
максимум в i1' = О и быстро спадает с ростом |аг[, т. е. решение
локализовано, причем как в пространстве, так и в мнимом времени. Параметр
Л задает значение максимума поля. Далее, уравнения Янга-Миллса
инвариантны относительно трансляций координат хм -+ ж'1 + а11. Поэтому
потенциал
(ж - ж,)2
g,dg; \ (з.Ю2)
(ж - ж,)2 + Л2 где
о) _ (ж" - ж;*)(т"
|*-ж,| '
и ж5" = const, также является решением уравнений Янга-Миллса и описывает
инстантон, расположенный в .точке с координатами ж{!. Можно показать, что
найденное таким образом 5-параметрическое семейство (3.102) (параметры
суть числа А, ж(") является наиболее общим инстантонным решением с
зарядом q - 1.
Вообше, из физических соображений можно ожидать, что инстантон с
произвольным q будет описываться полевой конфигурацией с выраженными
максимумами в \q\
§6. Инстантоны
151
точках пространства времени х[1,...,х^ и быстрым убыванием при удалении
от а:-*, i = 1,..., |g|. Нетрудно подсчитать полное число параметров,
задающих такую конфигурацию: это A\q\ координат zf максимумов, |д|
параметров типа А;, задающих значения максимумов, и еще 3|д| параметров,
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed