Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
R = тах(Д, 0),
где R = exp P(Ing) (см. случай (В)).
а) Предположим сначала, что exp P(In5) > 0. Тогда в равенстве
P(In5) = sup (h(p) + P(In5))
можно ограничиться мерами р, для которых h(p) є при некотором є > 0 (например при ? = і (P(In5) — In 0)). Если <т — инвариантная мера, сосредоточенная на множестве ir_1F = Y = IJ Ua (см. предложение 9.4), то
а
вследствие счетности Y мера тга сосредоточена на объединении периодических орбит. Если 7гсг сосредоточена на одной периодической орбите, мы можем считать, что p(Ua) = 1/п и fnUa С Ua. В таком случае h(a) = 0, поскольку fn\Ua — гомеоморфизм. В более общем случае, когда мера а сосредоточена на Y = -K-1Y, равенство h(a) = 0 также выполняется. Поэтому можно считать, что P(In5) задается как sup по тем р, для которых p(Y) = 0. Следовательно,
P(Ing) = P(In5).
§ 6. Термодинамический формализм
249
Таким образом,
R = ехр P(In д) = ехр Р(1п д) > 0
и, тем самым, R=R = ехрP(In5).
Ь) Теперь предположим, что R > Q и, значит,
R = R = ехр P (In5).
Положив Д/0 = є2е, получим
ехр P(In5) = е2є0 ^ є2е0.
Поэтому меры р в равенстве
P(In5) = sup (h(p) + P(In5))
можно считать удовлетворяющими условию h(p) )еик тому же неатомическими. В результате получим p(Y) = 0, р = тгр, где р Є X и
h(p) + p(ln5) = h(p) + p(ln5).
Таким образом, ехр P(In5) ^ ехр P(Ing) = R > 0, и мы возвращаемся к случаю (А).
Случай D (разбиение общего вида, 9 > 0). С помощью предложения 9.3 перейдем от произвольного разбиения к марковскому. При этом будет выполняться равенство 0 = 0. Отождествив X с некоторым подмножеством множества X, можно утверждать, что если р г '1 и (> (In f() конечен, то supp р С X. Следовательно,
P(Ing) = sup (h(p) + p(lng)) = sup (h(p) + p(lng)) = P(In5).
реї P^1
Если exp P(In5) > 0 и, значит, exp P(Ing) > 0, to R = exp P(Ing) (см. случай (С)), вследствие чего R > 0. Поэтому предположение max(P, ехр P(Ing)) > 0 приводит к заключению, что max(P, R) > 0 = = 0. С помощью предложения 9.12 отсюда сначала получаем R = R > 0, затем R = R = ехрP(Ing) (см. случай (С)) и наконец R = expP(lng).
Случай E (общий). С помощью предложения 9.1 перейдем от минимального покрытия к разбиению. При этом будет выполняться равенство
250
Глава 9
0 = 0. Если expP(In5) > 0, то обычное рассуждение позволяет доказать, что P(Ing) = P(Ing), а так как exp P(Ing) = R (случай (D)), мы получаем R > 0. Поэтому предположение тах(Д, exp P(Ing)) > 0 приводит к неравенству тах(Д, R) > 0. Отсюда следует (см. предложение 9.12), что R = R > 0 = 0. Так как R = exp P(Ing) (случай (D)), справедливо неравенство ехр Р(1п д) > 0. Еще раз применив обычные рассуждения, получим P(In5) = P(Ing). Таким образом, R = R = expP(lng) = ехрР(1п5), что и требовалось доказать.
Следующая теорема справедлива при наших обычных предположениях относительно X, f и д, включающих, в частности, ограниченность вариации функции д.
Теорема 9.22. 18 Если д ^ 0 и exp P(In5) > 0, то множество равновесных состояний
A= {pel: h(p) + p(\ng) = P(In5))
непусто и представляет собой симплекс, вершинами которого служат эр-годические меры с энтропией h ^ P(In5) — In 0.
Если энтропия h полунепрерывна сверху на X, a g — полунепрерывная функция на X, то
р h{p)+p{lng)
— аффинная полунепрерывная сверху функция на I. Поэтому она достигает максимума, равного P(In5), на некоторой грани А симплекса Шоке I, которая также является симплексом. Вершины (экстремальные точки) симплекса А — это эргодические меры, так как А — грань симплекса I.
При доказательстве теоремы 9.21 мы свели общий случай к случаю системы (X, /, 5) (см. пункт (Ь) доказательства упомянутой теоремы), в которой h и g полунепрерывны сверху. В этой ситуации множество
А = |/э Є X: h{p) + p(ln5) = P(In5) j
является гранью симплекса I, вершины которого — эргодические меры. Так как P(In5) ^ In©, при р Є А выполняется неравенство h(p) ^ P(In5) —
- InO > 0, откуда видно, что А состоит из неатомических мер. Теперь
18B доказательстве этой теоремы используется теория Шоке (симплексы, грани и т.д.), для знакомства с которой см., например, Шоке и Мейер [1].
§ 7. Приложение: общее определение давления
251
воспользуемся слабой топологией на I и А, т. е. топологией поточечной сходимости на пространстве С непрерывных функций X < С. Эта топология на А не изменится, если заменить С на С U В, где В — пространство функций X —>¦ С ограниченной вариации (элементы множества В определяют на А непрерывные функции, так как А состоит из неатомических мер). Если теперь заменить С U В на В, топология на А опять не изменится (так как последняя замена приводит к более слабой хаусдорфовой топологии, которая, тем самым, эквивалентна исходной топологии). Наконец, слабая топология на А есть тоже топология поточечной сходимости на В. Конструкции, проведенные при доказательстве теоремы 9.2, индуцируют линейный гомеоморфизм А —> А, причем топология на А — это опять топология поточечной сходимости на В, т. е. слабая топология. Тем самым, множество А непусто и является симплексом, а его вершины — это эргодические меры с энтропией h ^ P(ln g) — InO.
