Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 73

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 84 >> Следующая


§7. Приложение: общее определение давления19

Пусть X — метризуемый компакт и /: X < X — непрерывное отображение. Последнее называется разделяющим точки, если для всякой допустимой метрики d найдется такое є > 0, что если d(fkx, fky) < є при всех k ^ 0, то х = у. В соответствии с терминологией главы 8 можно сказать, что если X С R и (X, /) обладает образующим разбиением, то / разделяет точки.

Обозначим через I множество /-инвариантных вероятностных мер на X, снабженное слабой топологией (при этом Z оказывается компактом). Если р Є X, то энтропия h(p) может принимать любые значения от до нуля до бесконечности. Функция h(-) — аффинная, и если / разделяет точки, то энтропия h(-) конечна и полунепрерывна сверху (см. Уолтерс [2] и гл. 6). Заметим, что построение проективного предела позволяет перейти от непрерывного разделяющего точки отображения к гомеоморфизму с тем же свойством, т. е. такому гомеоморфизму /, что если d(fkx, fky) < є при всех к Є Z, то х = у.

Для непрерывной функции А: X —> R давление Р{А) определяется

19Поскольку в настоящее издание входит перевод книги «Термодинамический формализм», повторение в данном параграфе некоторых определений из этой книги можно при желании считать излишеством. Мы, однако, не пошли на возможные (весьма незначительные) сокращения, чтобы сохранить с максимальной полнотой оригинальный стиль автора. — Прші. ред.
252

Глава 9

равенством

P(A) = sup (h(p) + p(A)).

/э?Х

Понятие давления пришло из статистической механики, см. Рюэль [4]; имеется другое определение давления, его эквивалентность приведенной выше формуле доказана Уолтерсом [2]. Мера р Є X, для которой h(p) + р(А) = = P(A), называется равновесным состоянием. Если, в частности, функция h(-) полунепрерывна сверху, то для А существует по крайней мере одно равновесное состояние.

С помощью той же формулы давление и равновесные состояния можно определить и для некоторых отображений А, не являющихся непрерывными. Укажем один случай, в котором это обобщение полезно.

Если энтропия h, определенная на X, конечна и полунепрерывна сверху, а функция д на X неотрицательна и также полунепрерывна сверху, то формула

р ^ h(p) + р(\п д) (9.4)

определяет аффинное полунепрерывное сверху отображение X —» Ми{—00} и мы можем положить

P(In5) = max (h(p) + р(\пд)). рєх

Если (An) — убывающая последовательность непрерывных функций, сходящаяся к In5, то P(An) —> P(In5). Если рп — равновесное состояние для An и рп —> р (слабо), то р — равновесное состояние для In5.

Для доказательства заметим, что функция р /э(1п5) является пределом убывающей последовательности непрерывных функций р и-> р(Ап). Поэтому она полунепрерывна сверху, так что функция (9.4) также полунепрерывна сверху. Поскольку

P(An) = h(pn) + рп(Ап)

и рп —> р, мы имеем

P(In5) < Iim P(An) < h(p) + P(An) -> h(p) + p(ln5) < P(In5),

n—»00

вследствие чего P(An) —> Р(1п 5)ир- равновесное состояние для In д.
Приложение A. I Разнообразные определения и результаты

А.1.1. Порядок

Пусть ^ — отношение порядка на множестве E и S С Е. Существует не более одного а Є S, для которого a ^ х при всех х Є S (а — наибольший элемент множества S) и не более одного b Є S, для которого b ^ х при всех х Є S (Ъ — наименьший элемент множества S).

Если а Є E и a ^ х при всех х Є S, то а — мажоранта множества S. Если множество мажорант имеет наименьший элемент, то он называется верхней гранью множества S и обозначается VS'.1 Если b Є E и b ^ х при всех х Є S', то 6 — миноранта множества S. Если множество минорант обладает наибольшим элементом, то последний называется нижней гранью множества S и обозначается AS.2

Упорядоченное множество E называется структурой3, если каждое его конечное подмножество ScE обладает верхней гранью и нижней гранью. Достаточно потребовать, чтобы это имело место для каждого двухэлементного подмножества.

А.1.2. Массивные множества

Пусть E — топологическое пространство. Множество SdE называется массивным, если оно содержит пересечение счетного числа всюду плотных открытых множеств. Если E метризуемо и полно, то каждое его массивное подмножество всюду плотно в E (теорема Бэра). Мы будем говорить, что свойство (точек х пространства E) является типичным, если оно выполняется для всех X из некоторого массивного подмножества.

1B переводе этих терминов мы следуем традиции, сложившейся в отечественной математической литературе и несколько отступаем от терминологии автора: на месте «мажоранты» в оригинале стоит «upper bound», а на месте «верхней грани» — «least upper bound». Аналогичное замечание относится к понятиям миноранты и нижней грани (см. ниже). — Прим. ред.

23аметим, что использование нами символов VhA для покрытий (см. § 6.3) не вполне соответствует этим определениям.

3B оригинале «lattice». — Прим. ред.
254 Приложение А.1. Разнообразные определения и результаты

А.1.3. Полунепрерывность сверху

Функция / на топологическом пространстве E со значениями в RU! —оо} называется полунепрерывной сверху, если для любых х Є E и а > f{x) существует такая окрестность У1Х точки х, что
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed