Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 74

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 84 >> Следующая


У Є Уїх => f(y) < а.

Это эквивалентно требованию, чтобы для всякого действительного а множество {х Є E: f(x) < а} было открыто, или чтобы множество {х Є Е\ f(x) ^ а} было замкнуто.

Нижняя грань семейства непрерывных действительных функций на пространстве E полунепрерывна сверху. Если пространство E компактно и функция / полунепрерывна сверху, то существует точка х Є Е, для которой

f(x) = sup f{y).

уЄЕ

Таким образом, на компактном множестве всякая полунепрерывная сверху функция достигает своего максимума.

А.1.4. Субаддитивность

Предположим, что функция F(a\, ..., аг) определена для всех натуральных ai, ..., аг. Она называется субаддитивной, если при всех к

F(ai, . .., а'к+а'к, .. ., ar) < F(ai, ..., а'к7 ..., ar)+F(ai, ..., а!к7 ..., ar).

В этом случае

FiiCLl7 . . . , (Ir) , FiiCLl7 . . . , Clr)

Iim ----------------- = mi ------------------,

Oi, ...,Or^OO Jt Oi, ...,Or

11 ®'к 11 ®'к

к=1 к=1

причем предел является действительным числом или равен —оо (это используется при доказательстве соотношения (3.17)).
Приложение А.2 Топологическая динамика

Пусть Cl — непустое хаусдорфово топологическое пространство и /: Q і < Q- непрерывное отображение. Пара (Q. /) называется топологической динамической системой. Точка ж Є О называется блуждающей,

OO

если у нее существует такая окрестность U, что U П [j fnU = 0. Точ-

П=1

ка ж Є О называется неблуждающей, если для любой ее окрестности U и любого числа N ^ 0 найдется такое п > N, что fnU ПІІ ф 0. Неблуждающие точки образуют неблуждающее множество Л. Множество Л замкнуто и /Л С Л. Если / — гомеоморфизм, то неблуждающие множества отображений /_1 и / совпадают. Если пространство Cl компактно, то множество неблуждающих точек непусто.

Будем говорить, что динамическая система (Q, /) (или отображение /) топологически (+)-транзитивна, если выполняется следующее условие: (+Т) для любых двух непустых открытых множеств U,V С О и любого 0 существует такое п > N, что fnU П V ф 0.

Если отображение / топологически (+)-транзитивно, то неблуждающее множество совпадает с Cl. Гомеоморфизм / топологически (+)-транзи-тивен тогда и только тогда, когда этим свойством обладает /_1. Если Cl — компактное метризуемое пространство, то (+Т) эквивалентно каждому из следующих двух условий:

(+T') Существует точка х Є О, для которой множество предельных точек последовательности {fnx}n>о совпадает с О.

(+T") Te х Є О, для которых множество предельных точек последовательности {fnx}n>о совпадает с Cl, образуют массивное множество.

[Пусть {Vfc}fc>o — счетный базис топологии пространства ІІ. Множество предельных точек последовательности {fnx} совпадает со всем пространством Cl, если множество {fm+nx: п > 0} всюду плотно в Cl при любом то > 0. Множество тех х, для которых верно последнее, имеет вид

П fl Urm-Vls,

к>0т>0 п
256

Приложение А.2. Топологическая динамика

т. е. является счетным пересечением открытых множеств. Если выполняется условие (+Т), то это множество имеет непустое пересечение с каждым открытым множеством XJ ф 0 и, следовательно, всюду плотно в Q. Поэтому (+Т) => (+T"). Ясно, что (+T") => (+T'). Если выполняется условие (+T') и U, 1’ непустые открытые множества то / mX Є U и fm+nx Є V при некоторых то, п > N. Отсюда следует (+T).]

Заметим, что если множество предельных точек последовательности {fnx} совпадает со всем пространством Q, то множество {fnx: п > 0} всюду плотно в Cl. Если Cl не содержит изолированных точек, то верно и обратное.

Динамическая система (Cl, /) (или отображение /) называется топологически перемешивающей, если выполняется условие

(M) для любых непустых открытых множеств U, V С О существует такое N ^ 0, что

fnU П V ф 0при всех п > N.

Если отображение / топологически перемешивает, то оно топологически (+)-транзитивно. Гомеоморфизм / топологически перемешивает тогда и только тогда, когда этим свойством обладает /_1.

Гомеоморфизм / называется топологически транзитивным, если он удовлетворяет условию

(T) для любых двух непустых открытых множеств U, V существует такое п Є Ъ, что fnU П V ф 0.

Гомеоморфизм / топологически (+)-транзитивен тогда и только тогда, когда он топологически транзитивен и его неблуждающее множество совпадает с О:

(+Т) із- (T) и неблуждающее множество = О.

[Ясно, что из (+Т) вытекает (T) и совпадение неблуждающего множества с Cl. Обратно, пусть выполняется (T) и Cl является неблуждающим множеством. Возьмем непустые открытые множества U, V С О и любое N ^ 0. Мы хотим доказать, что

fmU П Vr ф 0 при то > N.

Из (T) следует, что fnU П V ф 0 при некотором п Є Z. Так как каждая точка х множества W = fnUPiV является неблуждающей, существует то > N, при котором W П fm~nW ф 0. Поэтому f™U П V D W П fm~nW ф 0.]
Приложение А.2. Топологическая динамика

257

Если О — компактное метризуемое пространство и / — гомеоморфизмом, то (T) эквивалентно следующим условиям (см. Уолтерс [2], гл. 5, § 2): (T') существует такая точка х Є Cl, что множество {fnx: п Є TL} всюду плотно в О;
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed