Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда трансфер-оператор С, связанный с д, 0-эквивалентен оператору С. Для доказательства можно воспользоваться замечанием 9.13, заметив,
Изучение дзета-функций кусочно-монотонных отображений на том уровне общности, с которым мы здесь имеем дело, было начато Балади и Келлером [4], которые рассмотрели случай, когда X — интервал прямой R и минимальное покрытие (Ji, ..., Jn) является образующим. Их доказательство упрощается, если предположить, что (Ji, ..., Jn) — образующее марковское разбиение (а X — канторово множество). Мы начнем с рассмотрения именно этого случая, а затем используем развитую выше технику в более общих случаях (и, в частности, докажем теорему Балади-Келлера).
Предложение 9.15. Пусть X — канторово множество, /: X —> X — кусочно-монотонное отображение, д — функция ограниченной вариации и (Ji, ..., Jn) —разбиение, связанное с /.
Предположив, что (Ji, ..., Jn) — образующее разбиение и что / Ji = = X для і = I, ..., N (откуда, в частности, видно, что (Ji, ..., Jn) — марковское разбиение), определим дзета-функцию равенством
||?т-ф|| < 2mC2(0 + e)m-1Var5- ||Ф||
т-1 1Zm
Iim sup TT g(fkx) < 0.
т—ї оо r
k=О
ЧТО ?\оо ?\оо
§5. Дзета-функции
OO
т — 1
т=1 x€Fix/™ fc=0
§ 5. Дзета-функции 235
Тогда функция I/(,(z) аналитична при \z\ < 0-1 и ее нули имеют вид А-1, где А — собственные значения трансфер-матрицы С, причем кратности нулей и соответствующих им собственных значений совпадают.
Первоначальная идея доказательства принадлежит Хайдну [1], который работал с функциями д, удовлетворяющими условию Гельдера. Рассуждения Хайдна были приспособлены к рассматриваемой ситуации Балади и Келлером.
Пусть Л+ — множество последовательностей ? = (?о> ?ъ •••) с Є {1, N} и т — сдвиг: т? = (?i, • • • )¦ Пару (X, /) мы можем
отождествить с (Л+, т), поставив в соответствие точке х такую последовательность (Co, Cii • • • )> что fkx Є J^k ¦ Имея в виду это отождествление, мы будем соответствующим образом менять обозначения там, где это окажется удобным.
Пусть
т— 1
^ = E П 9 (т^) >
^GFixrm k= О
так что
OO
1 /C(Z) = ехр [- E ¦
7П=1
Согласно теореме 9.10(b), можно найти такое 0 > 0, как угодно близкое к 0, что у трансфер-оператора С не существует собственных значений А с IА = 0, а число тех А, для которых |А| > 0, конечно (и равно, скажем, М). Проектор V, отвечающий той части спектра оператора С, которая лежит в области {А: |А| < 0}, является ограниченным оператором в В, и мы можем написать
м
?ф = E xJ E Si° ¦ (LjU^) + ТСФ,
J = I а,/3
M
CmФ = EaT1 E Si° ¦ {L?)af}Oj№) +
J = I а,/3
где 0 < IAjI ^ R и (Sja), ((Tja) — сопряженные базисы в обобщенных собственных подпространствах операторов С. и Cf, отвечающих собственному значению Aj. При этом матрицы Lj можно считать приведенными к жордановой нормальной форме (L™ — это т-я степень матрицы Lj). Пусть Toj- — кратность Aj, т. е. irij = trLj.
236
Глава 9
При фиксированном т > 0 обозначим через Eij суммирование по всем словам г) длины т, т. е. по элементам множества {1, N}m, и через
V — операцию сцепления двух слов10. Пусть г/* = г] V rj V . .. Є Л+ — периодическое продолжение слова і) и х, ? В таково, что Xjj(C) = 1> если ? начинается со слова г/, и Xjj(C) =Ob противном случае. Тогда
т— 1
OCmX4XO= Ib(^vO)-к=0
Заметим, что для некоторой константы С\
WCmXnW^C1Qm,
вследствие чего
VarCrnXrt ^ mVarg ¦ Cf 0™ \
Немного изменив 0, мы можем игнорировать множитель т и получить
VarCmXv < C2 0™.
Далее,
т — 1 ш —1
с™ = E П 5 (A*) = EnH^v г?*)) = E (?тх„) ю =
Ti к=0 Ti к=0 Ti
M
= E [Е aT1E-jW) • (lTU^p(Xv) + (^тх„)(»?*)] =
Г) 3 = 1 а,/3
M
= E xT (E-jW)^) +Е(^т^)(^) =
j=l а,/3 Jj Jj
= л(0) I Л(1) I л(2)
Sm 1 Sm 1 Sm ’
где
M
d0) = EmA™ j=i
1ПСцепление слова г) длины т со словом г}' длины т! приводит к слову rj V г}' длины т + т!.
§ 5. Дзета-функции
237
м
С = EА” E (? ^(X-?.!')? - -?-)-
j=l а,/3
Ci2) = E (rPCmXn) (п*
Поскольку
M
ехр
2 = 1
E шй? л = IT1-V
і=і
доказываемое утверждение вытекает из нижеследующих лемм 9.16 и 9.17. Лемма 9.16. Найдется такая константа С, что
Id4Kcem
Воспользуемся формулой
Ґ**7П _ _ \ Ш \ л f T т\ _
? CTja — Aj- (Lj ) CtRcrJP-
Тогда
J = I а,/3 г)
M
j=l а г)
M
= -ЕЕ^“ (?m fe* - E ^ (^)) =
j=l а г]
M
= -EEffi“ - KmSja) ,
J = I а
где Km — оператор конечного ранга, определенный равенствами
ТУ- _ ртп тр
-L-jTTi ?
238 Глава 9
(sm$)(0 = X>fa*)x„(0-
Tj
Если Vv = xv ¦ (1 - Ет)Ф = Xv ¦ (Ф - $(??*)), то
Var ^ 3 Var Ф,
Tj
так что
Var(?m® - *ГтФ) =Var (Cm(1 - Ет)Ф) = VarJ^ <
Tj
< E Var cjnXn ¦ Var фч < ЗСаё™ Var Ф
Tj
и, следовательно, ||?m — Km|| ^ ЗС^в™. Окончательно получаем
1С«Ксё"\
что и утверждалось.
Лемма 9.17. Найдется такая константа С', что
id2)i < с"©”*.
Зафиксируем Tj Є Л+ и для каждого слова щ длины к положим
Y = ( ChXvk -9(т Vry) -Ck-1Xrvk, если к ^ 2,
