Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Приложение А.З. Выпуклость 261
вершиной О. Если функционал его Є V* является P-ограниченным, хо Є V и є > 0, то существует функционал а G V*, удовлетворяющий условию
о-(у) ^ °о(у) - е||у|| при всех у Є С (*)
и касательный к P в некоторой точке х Є хо + С такой, что
\\х Xo I < \[Р{х о) - C0 (ж0) - s(o-0)],
где s((Jo) = inf{P(y) — со (у): у Є V}. (Это теорема Израэля [1]. Если С — линейное подпространство, то условие (*) принимает вид 11 (сг—сг0)1^11 ^ в частности, при C=V мы получаем теорему Бишопа - Фелпса.)
А.3.7. Единственность касательного функционала6
Если V — сепарабельное банахово пространство и P: V — IR непрерывная выпуклая функция, то множество точек х Є V, в которых существует только один касательный функционал к Р, является массивным (теорема Мазура [1]).
Если V — сепарабельное банахово пространство и P: V — IR непрерывная выпуклая функция, то множество
{сг Є V* : сг — касательный функционал к P в точке х}
совпадает с замкнутой (в слабой топологии) выпуклой оболочкой множества предельных точек последовательностей {сги}, где сгп — единственный касательный функционал к P в точке хп, которая при п —> оо стремится к х: Iim хп = х (теоремаЛанфорда-Робинсона [1]).
Tl—>оо
6B оригинале название этого пункта таково: «Multiplicity of tungent functionals». Однако речь в нем идет по преимуществу о единственности. — Прим. ред.
Приложение А.4 Меры и абстрактные динамические системы
А.4.1. Меры на компактных множествах
Пусть Cl — компактное пространство и — банахово пространство непрерывных действительных функций на Q с нормой
in ||А|| = sup \А(х)\
(равномерная норма). Пространство ^(Q)*, сопряженное к c^(Q), состоит из действительных мер на Q. Мы будем иметь дело со слабой топологией на ^(Q)* (см. приложение А.3.4)7. Пространство ^(Q)* является банаховым пространством с нормой
р ^\\р\\= Slip \р(А)\.
А: ||А||^1
Пусть Cl' — другое компактное пространство и /: Q і , (У — непрерывное отображение. Определим отображение /: c^(Ct)* н-> ^(SY)* формулой:
(fp)(A) =p(Aof), рєЩП)*, А є ^(ПО-
Меру f р будем называть образом меры р при непрерывном отображении /.
Если А Є cIalfi) и р Є cIa(Q)*, то произведение А- р Є c^(H)* определяется равенством (А ¦ р){В) = р(АВ), В Є ^(Q).
Если р\, р2 Є ^(Q)* и pi{A) ^ Р2(А) для любой неотрицательной функции А Є c^(Ct), мы пишем pi ^ р2- Это неравенство устанавливает отношение порядка, которое превращает пространство c^(Q)* в структуру (см. приложение А. 1.1). Мера р на Cl называется вероятностной, если выполнены любые два (а значит, и все) из следующих условий:
7B оригинале автор употребляет для нее также наименование vague topology. Этот тер-мин (не имеющий общепринятого русского эквивалента) обычно относится к топологии на пространстве мер, порождающей сходимость интегралов от любой непрерывной функции с компактным носителем. Поскольку пространство Q компактно, такая топология совпадает со слабой. — Прті. ред.
Приложение А.4. Меры и абстрактные динамические системы
263
(a) 0;
(b) р{ I) = 1;
(c) IIpII = і-
Для р Є c^(Q)* и А Є мы используем обозначение р{А)
р{А) = J Adp = J A{x)p{dx).
Интегрирование по мере р можно продолжить с пространства на широкий класс функций, в частности, на характеристические функции многих подмножеств пространства О и определить тем самым меру этих (измеримых) подмножеств. К числу измеримых подмножеств метризуемого компактного пространства относятся борелевские множества — элементы сг-кольца, порожденного компактными множествами. (Непустой класс множеств называется сг-кольцом, если он замкнут относительно операций симметрической разности и счетного объединения.) Измеримые множества — это множества вида X U N, где X — борелевское подмножество, a N — подмножество некоторого борелевского множества меры нуль.
Мы кратко изложили здесь теорию мер Радона на компактных пространствах (см., например, Бурбаки [1], [2]). Меры Радона на локально компактных пространствах определяются аналогичным образом (примером может служить мера Лебега на R"). Во всех случаях, специально оговоренных, меры в этой монографии считаются радоновыми.
А.4.2. Абстрактная теория меры
Можно развить и абстрактную теорию меры, не предполагая, что на пространстве О имеется топология (см., например, Халмош [1]). Основной объект такой теории — это пространство с мерой (Q, sd, р), где sd — семейство подмножеств пространства Cl (измеримых подмножества), а мера р — счетно-аддитивная функция на si. Мы предполагаем, что р ^ 0 и р(?1) < оо. Изоморфизмы пространств с мерой — это сохраняющие меру преобразования, определенные и взаимнооднозначные с точностью до множеств меры ноль. Можно показать, что компактное метризуемое пространство с положительной мерой Радона является пространством Лебега, т. е. изоморфно объединению интервала действительной прямой с мерой Лебега и счетного множества (конечного или бесконечного), каждая точка которого имеет положительную меру, или «массу» (см. Рохлин [I]). В частности, если вероятностная мера р на компактном метризуемом пространстве не имеет
