Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 75

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 84 >> Следующая


(Т") точки х Є О, для которых множество {fnx: п Є Z} всюду плотно в Q, образуют массивное подмножество.
Приложение А.З Выпуклость

А.3.1. Общие определения

Пусть V — вещественное векторное пространство. Множество S CV называется выпуклым, если ах + (1 — а) у Є S при всех х,у Є S и а Є [0, 1]. Выпуклой оболочкой множества S CV называется наименьшее выпуклое множество, содержащее S.

Пусть S — выпуклое множество. Функция /: S —> M называется выпуклой, если {(ж, t) Є V х R: х Є S, t ^ f{x)} — выпуклое множество. Функция / называется вогнутой, если функция — / выпукла; если функция / одновременно выпукла и вогнута, она называется аффинной. В более общем случае, когда W — вещественное векторное пространство, мы говорим, что /: S W — аффинное отображение, если f(ax + (1 — а)у) = = af(x) + (I — a)f(y) при любых х,у Є S и а Є [0, 1]. В частности, всякое линейное отображение V —> W аффинно.

Если S — открытое выпуклое множество в IR", то всякая выпуклая функция на S непрерывна. Если / — действительная функция, определенная на интервале (a, b) С R и d2f(x)/dx2 ^ 0 при х Є (а, Ь), то / выпукла.

Понятие выпуклости занимает центральное место в теории топологических векторных пространств (см. Кёте [I]4). Здесь мы приводим только некоторые результаты, используемые в тексте.

А.3.2. Теорема Хана-Банаха

Пусть Р : V выпуклая функция и W — линейное подпростран-

ство пространства V. Предположим, что линейная функция w: W R удовлетворяет условию w ^ PIW. Тогда существует такая линейная функция V: V і—> R, что

V < P1 v\W = w.

4Более доступны отечественному читателю книги Бурбаки [1], Данфорда и Шварца [1], Иоффе и Тихомирова [1], Рокафеллара [1]. —Прим. ред.
Приложение А.З. Выпуклость

259

Если V — топологическое векторное пространство и функция P непрерывна, то и функция V непрерывна. Стандартный пример: V — нормированное пространство и P — норма.

А.3.3. Теоремы отделимости

Говорят, что подмножества SnS' топологического векторного пространства V разделены (замкнутой) гиперплоскостью, если существуют непрерывная линейная функция /: V R и число с ? 1, для которых f(x) < с при X Є S и f(x) > с при X Є S'. Если f(x) < с при х Є S и f(x) > с при X Є S', то говорят, что ShS' строго разделены.

Пусть SnS1- непересекающиеся выпуклые множества.

(a) Если S открыто, то S и S1 разделены гиперплоскостью.

(b) Если ShS' открыты, то они строго разделены гиперплоскостью.

(c) Если пространство V локально выпукло, множество S компактно, а множество S1 замкнуто, то S и S' строго разделены гиперплоскостью.

(Заметим, что утверждения (а) и (Ь) — это различные формы теоремы Хана-Банаха).

А.3.4. Выпуклые компакты

Пусть V — нормированное пространство. Сопряженное к нему пространство V* (пространство непрерывных линейных функционалов на V) — это банахово пространство с нормой

а IIcrII = suP Icr(^)I-

xeV: ||а:|К1

Слабой топологией на V* называется топология, порожденная поточечной сходимостью линейных функционалов на V.5 Пространство V* со слабой топологией локально выпукло и сопряженное к нему пространство есть V. Замкнутый единичный шар {сг Є V*: ||сг|| Sj 1} компактен в слабой топологии пространства V* (это частный случай теоремы Алаоглу-Бурбаки).

Пусть К — выпуклое компактное подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства V и (fa) — семейство коммутирующих непрерывных аффинных отображений множества К в себя. Тогда

5Эту топологию часто называют также *-слабой (Колмогоров и Фомин [1]) и \ '-топологией (Данфорд и Шварц [1], гл. 5, § 4). — Пріш. ред.
260 Приложение А.З. Выпуклость

отображения /„ имеют общую неподвижную точку (теорема Маркова-Ka-кутани).

А.3.5. Крайние точки

Пусть V — вещественное векторное пространство и S С V. Точка z Є S называется крайней точкой множества S, если

z = ах + (1 — а) у при некоторых х, у Є S, а Є (0, 1),

лишь в том случае, когда х = у = z.

Пусть К — выпуклое компактное подмножество локально-выпуклого топологического векторного пространства V и S — совокупность крайних точек множества К. Тогда замыкание выпуклой оболочки множества ё совпадает со всем К (теорема Крейна-Мильмана).

Пусть S — подмножество локально-выпуклого топологического векторного пространства V, причем замыкание К его выпуклой оболочки компактно. Тогда крайние точки множества К содержатся в замыкании множества S (теорема Мильмана).

А.3.6. Касательные функционалы к выпуклым функциям

Пусть V — топологическое векторное пространство и P: V R — непрерывная выпуклая функция. Линейный функционал а: V M называется касательным к P в точке х, если

Р(х + у) ^ Р(х) + а{у) при всех У Є V.

Рассмотрим более общую ситуацию. Функционал сг называется Р-ограни-ченным, если существует такое с Є R, что

сг — с ^ Р.

По теореме Хана-Банаха функционал сг непрерывен, т. е. содержится в пространстве V*, сопряженном к V. Кроме того, для каждой точки х Є V множество касательных функционалов к P в этой точке непусто.

Пусть V — банахово пространство, Р: V ¦ 3: — непрерывная выпуклая функция и С — замкнутый выпуклый конус в пространстве V с
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed