Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 66

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 84 >> Следующая


В условиях предложения 9.7 0vjr = 0vjr и 0erg = 0erg. Значения 0, отвечающего периодическим точкам новой системы, совпадают со значениями 0, отвечающего периодическим или виртуальным периодическим точкам старой системы. Тем самым, и здесь 0^0.
§4. Трансфер-оператор С 227

§4. Трансфер-оператор С

Как и раньше, рассмотрим систему (X, /, д), состоящую из компактного подмножества XcR, кусочно-монотонного отображения / и функции ограниченной вариации д. Выберем минимальное покрытие (Ji, ..., Jn), связанное с /. Назовем трансфер-оператором оператор С, определенный на банаховом пространстве В функций X —> С ограниченной вариации формулой

(»)w= E д(у)Цу),

У¦ Jy=X

И положим9

R = Iim (||?m||0)1/m.

т—> оо

Тем самым, R — это спектральный радиус того же С, но действующего на пространстве ограниченных функций X —> С.

Теорема 9.10. (а) Спектральный радиус Rb оператора С, действующего на В, удовлетворяет неравенству

0 ^ Rb ^ R-

(b) Существенный спектральный радиус оператора С не превосходит 0.

(c) Если g ^ 0, то Rb = R- Если, кроме того, 0 < R, то R служит собственным значением оператора С и существует отвечающая ему собственная функция Фо ^ 0.

В параграфе 9.6 мы увидим, что R ^ max (0, expP(ln \д\)), где P — давление.

Доказательство утверждения (а). Для каждого то > 0 подберем такое ут, что

тп—I т — 1

П cAfkVm) Ss^sup Y[g(Jky) ¦

к=0 У к=о

9B другом месте (Ruelle [12]) мы использовали обозначение R для спектрального радиуса оператора \С\, действующего на пространстве ограниченных функций и определяемого как как оператор, который получается при замене д в определении С на \д\.
228

Глава 9

Пусть Фт — функция, равная единице в точке ут и равная нулю в остальных точках. Тогда

Rb= Iim ||/Н|1/т > Hm (^Ц/^Фл")

оо оо Vz J

1/т

Iim

т—>оо

т—1

1/г,

т—1

П 5 (Zfe У"

Iim ( і sup Yl fj(fky)

т.—^no \ z -1- -1-

к= О

Аналогично получаем

к=О

1 /г

0.

R = Um (\\?т\\0)1/т ^ Hm (||?™Фт||0)1/т =

т—1

Iim П g{fkym)

т. —у по

к=О

1/т

0.

Пусть интервалы Ji, і = I, ..., N, где С ,/^образуют разбиение пространства X и ірі — отображение, обратное к /1. Положив

Vi1,...,гк(х) =д(Фпх) ¦ д{'Фі2'Фгіх) ¦ ¦ ¦ ді'Фік ¦¦¦Фііх)-,

мы получим

Cmф(х) = E tPi1 ,...,i>rXx)®(^i,n ¦ ¦ -фігх),

Varсшф = EsuP \д (fk 2х) ¦¦ -g(fx)g(x)\ • E Var(5 )х

к= 1

X sup

У

+

fcfc+1 '

E ^ + 1---гт(^У)Ф(^гт ¦¦¦ФіьУ)

+ sup Ig (/т_1а;) ... g(fx)g(x) | • Var Ф.

X

Следовательно, если 0 > 0, R > R, то найдутся такие С, С' > 0, что

Var Cm Ф < С

EVar5O^-E0fe lRm feII^IIo+ 0™УагФ

к=1

< (ш + 1)С" (max(0, i?))m • Var Ф
§4. Трансфер-оператор С

229

и, значит,

Iim \\Ст\\1/т < max(0, R) = R.

т—> оо

Доказательство утверждения (в). Пользуясь обозначениями пункта (а), возьмем точку ^li.из области определения отображения 'фі,„ о ¦ • ¦ о Ipil (если эта область непуста) и определим оператор Km равенством

(КтФ)(х) E ° ¦ ¦ ¦ ° Фііхіі,...,іт)-

il . . . ini

Очевидно, Km — оператор конечного ранга, и если мы докажем, что

HE IlCm -KmW1Zm (9.1)

т—>• оо

то из формулы Нуссбаума [1] для существенного спектрального радиуса будет следовать, что существенный спектральный радиус оператора С не превосходит 0. Будем действовать так же, как в пункте (а), но с заменой СтФ на CmФ — KmФ. Заметим, что

E 11Ф° ° •••

г& + 1 • • • im

- Ф (грігп о ... о гргк(гргк_1 о ... о IpilXil. . . ))||о < УагФ,

а потому

Уаг(?тФ — КтФ) <

т

^ С Var д о Xpi ¦ Qk 1 Qm k var Ф + 0™ • 2 Var Ф

к=і

< (т + 1)С"Єт Var Ф,

откуда вытекает (9.1).

Доказательство пункта (с). Пользуясь условием д < 0, мы получаем

Iim WCmW1/"1 > Iim (Var(?ml))1/m >

т—*оо т—оо /р. ~\

> Hm (||?т1||о)1/т = Iim {\\Cm\\Q)1/m = R,

оо т—>• оо

так что Rb ^ R- Тогда, согласно п. (а), Rb = R-
230

Глава 9

Предположив, что О < R, докажем, что R — собственное число оператора С и что отвечающая ему собственная функция неотрицательна. Мы можем написать

і = ф+Ефі’

і

где каждая функция Ф^ принадлежит обобщенному собственному подпространству оператора С, отвечающему собственному числу A j с | Aj-1 = R. При этом

Um ^1=5 = 0,

т—> оо T

где 0 < г < R. В силу (4.2)

Iim IogVaxOCmI) = Iogi?

т—>оо ''Ь

и, значит, не все Ф, равны нулю.

Записав ограничение оператора С на обобщенное собственное пространство, отвечающее Aj, в жордановой нормальной форме, можно убедиться в том, что существует целое к ^ 0, для которого Ипі = ф^’

TYl —OO Д'/ ^ JYl

при всех j, и что найдется j, для которого Ф;/ ф 0. Так как

3

RmTTik RmTrik j XmTTik^

мы получаем

E ("д) (9.3)

j

где 0 ^ є (то) —> 0 при то —> оо. Заметим, что сумма в левой части последнего неравенства конечна и что Aj-/Tl = 1 при всех j.

Пусть (. . . )т обозначает усреднение по то Є Z. Тогда (9.3) приводит к неравенствам

А,

^(l±cosmn)E(^) фз)т^°
§4. Трансфер-оператор С

231

<J(1± sinrnn) E(r^f) фі)

т

з

Если A j ф R при всех j, то
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed