Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Vh I Cxvk, если к = 1,
где тщ — слово длины к — 1, полученное сдвигом, и xVk — характеристическая функция множества последовательностей из Л+, начинающихся с %. При к ^ 2 мы получим
Vary4fc = Var [_{д(щ V •) - д{щ V гу)) • (Ck-1Xrvk) (•)] <
< I Var5 ¦ VwCk-1Xrvk < § Var5 ¦ C2Qk^ = C3Qk.
Через мгновение мы воспользуемся этим неравенством.
§ 5. Дзета-функции 239
Положив 7]т = г), получаем
т— 1
= E V ^ ¦ ¦ •д (rfeO v 1O-fc=0
Следовательно,
Cm E (^"O) ю =
г/
т— 1
= EE g(v V v). . . д (rk 1TiVri) ¦ (VYrkv) (т]*) =а + Ь,
г) к=О
где
m— 1
a = E E V ^ •5 CrfeO v [OO) W) - (TrO) (^vO
/с = 0 Г!
т— 1
6= ЕЕ д(т] V ?])... д (тк 1Tt V г?) • (VYrUv) (т] V rf).
к=О г)
При этом
Ш— 1
l«l < E E к(г? v^T). .C^fe-O v^)| • var (VYTkv\r) V Л+) <
fc=0 г]
m— I m —I
-т^т — к
< E СіЄ E v^rpyV,.-* < E ^i0 Ii^ii • сзе
fc=0 rivn-k к=О
= m||P||CiC20m, a b представляется в виде
m— I
ь= E E (^Yv„-k)(vm-kvvh
к=О Tjm _fc
откуда вытекает, что
ш —1 ш—1
|ь| < E E Ilp-cfeIl varlO* < E c^fe' c'30m_fe = шс3с4ёт.
к=О т}т-к к=О
240
Глава 9
Немного изменив 0, можно избавиться от множителя т в последнем выражении и в результате получить
id2)Ki«i + i&i<c'0m,
что и требовалось.
Репрезентативное множество периодических точек
Начав с динамической системы (X, /) и минимального покрытия (Ji, ..., Jn) и последовательно применив предложения 9.1 и 9.4, мы перейдем сначала к системе (X, /), а затем — к системе (X, /). Точки пространства X — это последовательности (Cfe)fe^о элементов множества {1, ..., N} (символов), а / — сдвиг. Если орбита {fkx)k>0 не проходит через точки &1, ..., bs, общие концы интервалов Ji, Ji+i, то образ ах = (?fc)fc>о Є X точки X корректно определен включениями /кх Є Jfl . В частности, если Per/ и Per/ — множества периодических точек преобразований / и /, то существуют конечные множества P*, P*, для которых
а(Рег/ \ P*) = Per/ \ P*-
Назовем /-инвариантное множество S С Per/ репрезентативным множеством периодических точек, если а индуцирует такую биекцию
(3: S \ конечное множество —> Per/ \ конечное множество,
что /-период точки (Зх равен /-периоду точки х.
Пусть, как и в параграфе 9.1, Рег±(/, т) — множество точек из Per / \ P*, которые являются соответственно положительными (+) и отрицательными (—) периодическими точками с минимальным периодом то. Аналогичным образом, пусть Рег±(/, т) — множество точек из Per/, которые положительны или отрицательны и имеют минимальный период то. Заметим, что отображение а сохраняет период т точки х в том и только том случае, когда оно сохраняет ее знак (+ или —), но что возможны случаи, когда х Є Рег + (/, 2п) и ах G Per “(/, п). Для положительной периодической точки S Є Per + (/, т) \ Р* всегда найдется х Є аП Рег + (/, т). Если X — интервал в К, то в силу следствия 9.6 для отрицательной периодической точки S Є Per ~(/, m)\P* найдется точка ж Є а_1^ПРег_(/, ш),
§ 5. Дзета-функции
241
которая к тому же единственна. Следовательно, в случае интервала всегда существует репрезентативное множество периодических точек. Этот факт входит в качестве пункта (а) в следующее предложение.
Предложение 9.18. Пусть / — кусочно-монотонное преобразование компактного подмножества X прямой M и (Ji, ..., Jn) — связанное с ним минимальное покрытиеи. Тогда
(a) если X — интервал, то всегда существует репрезентативное множество S периодических точек;
(b) в следующих случаях само множество Per / является репрезентативным множеством периодических точек:
(bi) (Ji, ..., Jn) — образующее разбиение;
(Ьг) X — интервал в Ж, a f — кусочно-аффинное отображение с наклонами (Ti, ..., on, удовлетворяющими условию П сгф 1, если целые тої, ..., шдг неотрицательны и 'Errii > 0;
(Ьз) X — интервал, а / — отображение класса C3 с отрицательной производной Шварцап:
Пункт (а) уже доказан.
В условиях пункта (bi) процедура, описанная в предложении 9.1, изменяет лишь конечное число периодических точек, а процедура из предложения 9.4 вообще не меняет их. Поэтому а индуцирует биекцию множеств периодических точек по модулю конечного множества и сохраняет период.
Пусть выполнены условия пункта (Ьг) и пусть ? Є Рег±(/, rri) \ Р*. Тогда /™ отображает в является аффинным на этом ин-
тервале и имеет наклон ^ 1. Поэтому существует единственная неподвижная точка ж Є Per^(/, ш). Тем самым, а индуцирует биекцию Per / \ Р* —> Per / \ P*, сохраняющую период.
Прежде чем переходить к пункту (Ьз), необходимо напомнить некоторые сведения, касающиеся производных Шварца. Важность условия Sf < 0
11KaK уже сказано в замечании 9.2(2), мы можем позволить / принимать по два значения в общих концевых точках Ь±, ..., Ьв соседних интервалов ./, и ¦!, \.
12Это условие можно ослабить. Будем считать, как всегда, что функция / непрерывна и строго монотонна на интервалах Ji = и; \. а і . Предположим также, что / непрерывно дифференцируема на (щ-1, а*), а |/'|_1/2 строго выпукла. Эти условия достаточны для справедливости пункта (Ьз) (см. Престон [3]).
