Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
з
и, следовательно,
з
при всех вещественных а. Ho тогда = 0 при всех j, что невозможно. Тем самым, R — собственное число, скажем, Ag = R. Кроме того, Фц =
Лемма 9.11. Пусть (Ua) — семейство попарно не пересекающихся интервалов в X (не обязательно замкнутых) и Y = |J Ua. Предположим,
что каждый интервал Ua содержится в некотором Ji и что либо
(ai) fUa содержится в некотором Up из того же семейства, либо (а2) g равно нулю на Ua.
Предположим также, что каждый интервал Ua обладает одним из следующих ниже свойств:
(bi) если Up < Ua, то существует такое хар Є X \ Y, что Up <
^ хар Ua,
(Ь2) если Up > Ua, то существует такое хар Є X \ Y, что Ua <
< уар < Up.
При условии (a) CBy С By. В таком случае оператор С\у на В\у удовлетворяет условию С\уи> = и>?, где и>: В —> В\у — фактор-отобра-жение.
При условии (Ь) спектральный радиус ограничения оператора С на By не превосходит 0. Следовательно, если |А| > 0 и Ex, E^y — обобщенные собственные пространства операторов С и С\у, отвечающие собственному числу А, то и: В —> В\у порождает биекцию Ex —> Exy.
Предположим, что Ф обращается в нуль вне Y. Тогда (?Ф)(ж) ф 0 возможно лишь при х = /у, где у Є Ua, g(y) ^ 0. Поэтому в силу условия (а) X Є Up С Y. Следовательно, CBy С By И С\у корректно определено.
3
т
^ 0 и Фо не может быть тождественным нулем.
а
232
Глава 9
Если выполняется условие (Ь)иФе By, то
Var Ф < Уаг(Ф|?7а) < 2УагФ
а
(для доказательства второго неравенства заметим, что при вычислении Var Ф = Hm (|Ф(а0) + ^ ФЮ “ фК-і)| + ф(«п)|)
можно предположить, что каждому растянутому (? в данном Ua непосредственно предшествует или за ним непосредственно следует некоторое Cij с ?(?) = 0).
Стало быть, если Ф Є By, то
Var ?тФ < ? vaxOc"^) < ЕУаг('С™(^ф))>
/3 а
и, обозначив отображение, обратное к / Jj, через фі, мы получим
?™(хгу«ф) = (fi ° Фч) ¦ ¦ ¦ (д ° Фп ° ••• °Фіт){(ХиаЮ°Фіі ° ••• 0VO-
При любом є > 0 произведение к множителей д вдоль траектории преобразования / не превосходит С(0 + є)к. Следовательно,
V&r(Cm(Xu„Ф)) < InC2(Ole)"1-1 ¦ Vnrg-Var(^lUa)
и, окончательно,
Var ?тФ < тС2(0 + є)т_1 • Varg • 2 Var Ф.
Таким образом,
\\Ст\Ву\\ < 2тС,2(0 + є)т-1 ¦ Var5
и спектральный радиус ограничения С\Ву не превосходит 0. Отсюда вытекает утверждение леммы.
Предложение 9.12. Предположим, что С, Y, 0, а также С, Y, 0 с О < О удовлетворяют условиям леммы 9.11. Если существует изоморфизм В\у — В\у> отождествляющий С\у и С^у, будем говорить, что
трансфер-операторы CuC являются Q-эквивалентными', их собственные
§4. Трансфер-оператор С 233
значения А с |А >0 одинаковы, а между обобщенными собственными подпространствами Ex и Ex имеется естественное соответствие. Отношение Q-эквивалентности можно продолжать, пользуясь его транзитивностью.
Конструкции предложения 9.1 (приводящего к некоторому разбиению), предложения 9.3 (приводящего к марковскому разбиению), предложения 9.4 при 0^0 (приводящего к образующему разбиению) и предложения 9.7 (дающего д, непрерывное в периодических точках) каждый раз порождают 0-эквивалентность С ~ С.
В случае предложения 9.4 мы вначале предположим, что (Ji, ..., Jn) — марковское разбиение. Условия применимости леммы 9.11 уже проверены в предложениях 9.1, 9.3 (при Y = 0), 9.4 (в марковском случае) и 9.7. Кроме того, из построения вытекает, что изоморфизм В\у — B y-, порождаемый
отображениями Ф і < Ф07? (предложение 9.1), Ф X - Ф (предложение 9.3), Фо7г <— Ф (предложение 9.4) и Ф Фо7? (предложение 9.7), отождествляют C\y и
Таким образом, если не заботиться о марковости разбиений в предложении 9.4, то мы установили требуемую 0-эквивалентность С ~ С.
Переходя к общему случаю в предложении 9.4, заметим, что предложения 9.3 и 9.4 можно применять в любом порядке, получая при этом почти одинаковые результаты (см. замечание 9.5(3)). Обозначим символами (*) и (Л) применение предложений 9.3 и 9.4 соответственно. Тогда мы получим операторы С, С*, С, С*, (С'г)'\ причем в смысле 0-эквивалентности
С. ~ Ct ~ (С* J] С ~ С*. Ho, согласно предложению 9.3 и замечанию (3), сделанному после предложения 9.4, (С* у~ С*, что по транзитивности дает С ~ С.
Замечание 9.13. Предположим, что X — канторово множество, и пусть B00 = {Ф Є В: {.х: Ф(ж) ^ 0} счетно}. Определим Cxoo равенством
С\сю^ — LO С, ГДЄ
Lu--B^Bxoo = BfB00
— фактор-отображение. Тогда у С и C-^00 совпадают собственные значения Ac I А| > 0, a w индуцирует биекцию Ex —> Exoo соответствующих обобщенных собственных подпространств.
Зафиксировав Ф Є B00, положим Z = {х: Ф(ж) ^ 0} и Y = = U fmZ. Поскольку каждая точка счетного множества Y является пре-
ш^О
234
Глава 9
дельной для X \ Y (так как X — канторово множество), мы можем применить лемму 9.11. Значит (как и при доказательстве этой леммы),
а потому спектральный радиус ClB00 не превосходит 0, что и приводит к нашему утверждению.
Замечание 9.14. Предположим, что X — канторово множество, а функция д с Varg < оо такова, что множество {х: д{х) ф д{х)} счетно и
