Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
264 Приложение А.4. Меры и абстрактные динамические системы
атомов (т. е. р(х) = 0 для любой точки х), то она определяет пространство с мерой, изоморфное единичному интервалу (О, I) С R с мерой Лебега.
А.4.3. Абстрактные динамические системы
Мы будем называть четверку (fi, si, р, т) абстрактной динамической системой, если (fi, si, р) — пространство с мерой иг: fi н-> fi — обратимое отображение, сохраняющее si и р. Предположим, что (fi, si, р) изоморфно единичному интервалу (О, I) С R с мерой Лебега.
Изоморфизмом двух абстрактных динамических систем, (fi, si, р, т) и (fi', si', р', т'), называется такой изоморфизм /: (fi, si, р) i—> (fi', si', р') пространств с мерой, что / о т = т' о /.
Энтропия или инвариант Колмогорова-Синая абстрактной динамической системы определяется так, как это было сделано в параграфе 6.4, но с заменой только борелевских разбиений на измеримые. В случае, когда абстрактная динамическая система определяется гомеоморфизмом компактного метризуемого пространства, это определение совпадает с определением параграфа 6.4. Энтропия любой динамической системы — это неотрицательное число или +сю; она не меняется при изоморфизме.
А.4.4. Сдвиги Бернулли
Пусть ц — вероятностная мера на конечном множестве fio- Мера р на пространстве fi = fig, определяемая как прямое произведение р = инвариантна относительно сдвига т (см. главу 5). Полученная таким образом динамическая система (и любая динамическая система, изоморфная ей) называется сдвигом Бернулли. Заметим, что энтропия в этом случае равна
h = ~Yl
Мы предполагаем, что h > 0.
А.4.5. Разбиения
Определение разбиения и связанных с ним понятий было дано в параграфе 6.3.
Приложение А.4. Меры и абстрактные динамические системы 265
Пусть Ш = (Ai)ієі и Ъ = (Bj)jej — конечные измеримые разбиения пространства (f2, si, р) и є > 0. Говорят, что разбиение й является є-независимьім от 25, если существует множество J7 С J, для которого
E Р(ві) < ? и
j є J'
E Ір(Аі П Bj)/p(Bj) - P(A1)І < є
ІЄІ
при j ? Jf. Это отношение не симметрично, но оно влечет за собой симметричное неравенство
ЕЕ Iр(Аг П Bj) - p(Ai)p(Bj)I < Зе
ІЄІ j?J
и, в свою очередь, вытекает из симметричного неравенства
ЕЕ1^п^)-р(Л)/>№) |<?2.
ІЄІ jdJ
Разбиение й = (Ai) называется образующей абстрактной динамической системы (f2, si, р, т), если множества TkAi (к Є Z) порождают si (при помощи операций счетного объединения и пересечения и с точностью до множеств меры нуль). Разбиение й называется слабобернуллиевским, если для любого є > 0 существует такое п, что разбиение \J тх%
жЄ[п, n+k\
является е-независимым от \/ тж21 при всех к > 0.
хЄ[—к, —1]
А.4.6. Теоремы об изоморфизме
Два сдвига Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны (теорема Орнстейна).
Если абстрактная динамическая система (с пространством Лебега и неатомической мерой) имеет слабобернуллиевское разбиение в качестве образующей, то она изоморфна сдвигу Бернулли (теорема Фридмана и Орнстейна).
Подробно теоремы изоморфизма изложены в книгах Орнстейна [1], Шилдса [1] Смородине кого [1].
Приложение А.5. Интегральные представления на выпуклых компактных множествах
Здесь мы следуем приложению А.5 из книги Рюэля [3]. Доказательства можно найти в книге Бурбаки [1] и статье Шоке и Мейера [1], на которые мы в дальнейшем будем ссылаться как на [В] и [С-М]. Cm. также Фелпс [1] и Ланфорд [ 1 ].
А.5.1. Результант меры
Пусть V — локально-выпуклое топологическое векторное пространство и К С V — выпуклое компактное множество. Пространство : , дуаль-
ное к '(!(К), состоит из действительных мер на К. Обозначим через 9Л+ выпуклый конус положительных мер на /\ и через 9Л і — множество положительных мер с нормой единица (9Л і — множество вероятностных мер на К). Для р Є К обозначим через Sp вероятностную меру, соответствующую единичной массе в точке р (меру Дирака).
Если то Є Ші, то существует такое р Є К, что для всех / Є V* (V* — пространство, дуальное к V) справедливо равенство
f(p) = J f(a)m(da).
Точка р называется результантом меры т ([В], стр. 216, следствие). Если вероятностная мера т имеет результант р, то ее можно представить как слабый предел последовательности мер т! Є Ші с результантом р, имею-
П П
щих конечный носитель (т. е. m' = Yl ^iSpi, ^ О, Y = I, Pi Є К,
1=1 Z=I
П
Y ^iPi = P (см- [В], стр. 217, предложение 3). Если мера то Є Ші име-
г=1
ет результант р и функция f аффинна и полунепрерывна сверху на К, то m(f) = f(p) ([С-М], лемма 10).
Прил. A. S. Интегральные представления на выпуклых множествах 267
Компактное подмножество S множества К называется фасадом К, если suppm С S для любой вероятностной меры то, результант которой принадлежит множеству S.
А.5.2. Максимальные меры
Пусть S С c^(K) — выпуклый конус непрерывных выпуклых функций на К. Введем отношение порядка -< на множестве SDt+, положив
(ш 1 -< ш2) (ші(/) < Ш2(/) для всех / Є S).
Если 7711 -< Ш2 и / — непрерывная функция, TO Ші(/) = 7712(/); В частности,
